Особенность технологии обучения математике посредством решения задач

Известный в нашей стране учитель математики Хазанкин Р.Г. своими исследованиями в организации обучения математике в средней школе, вышел за пределы традиционной образовательной системы. Он разработал методику обучения математике, известную как "Педагогика по вертикали". Этот метод показывает превосходные результаты в обучении и воспитании школьников.

Каждый преподаватель мечтает, чтобы его ученики обладали навыками критического мышления. Логическое мышление является неотъемлемым условием успешного освоения знаний. Однако в последнее время в школе укоренилась практика выполнения заданий быстрее других или по шаблону. Убеждение учителя, что на уроке необходимо обязательно выполнить определенный, заранее запланированный объем работы, а ученикам следует думать быстро и только быстро, является опасным заблуждением. В такой ситуации ученики вынуждены решать задачи только по аналогии с предыдущими, следуя исключительно установленным образцам. Результаты такого подхода к обучению не всегда приводят к хорошим знаниям и умениям.

Для достижения лучших результатов в обучении математике, надо стимулировать школьников к развитию мыслительных навыков. Необходимо научить их думать глубже: проводить обобщения, анализировать, рассматривать различные варианты, строить контрпримеры, а также разрабатывать собственные математические задачи. Это разнообразие в мышление позволит обучающимся лучше усвоить материал и применять его в различных ситуациях.

Особенностью технологии обучения математике посредством решения задач является то, что особое значение имеют нетрадиционно построенные: урок-лекция, уроки решения «ключевых задач», урок решения обучающих задач, уроки-консультации, зачетные уроки, контрольная работа, анализ результатов зачета, анализ результатов контрольной работы.

Изучение каждой новой темы начинается с уникальной лекции, которая, как правило, занимает 1-2 урока. Этот урок является коллективным исследованием учителя и учеников. Лекция должна быть разработана и проведена таким образом, чтобы основное содержание было охвачено целиком, обеспечивая высокий уровень научности материала, при этом сохраняя доступность, изящество и привлекательность. Именно на этом уроке-лекция пробуждается интерес к математике у обучающихся. Однако для этого необходимо, чтобы лекция отличалась от простого повторения учебника и представляла новые идеи и концепции.

Для подготовки урока-лекция для старших классов вводятся новые элементы: указание на теоретические вопросы, в которых младшие школьники могут испытывать затруднения, методы из объяснений и способы предоставления помощи, решение сложных задач, а также целенаправленное обучение школьников составлению задач по теме лекции.

При подготовке урока-лекция учитель обращается к известным методам составления задач, которые он затем адаптирует для использования в работе с учениками. Он выбирает наиболее подходящий метод и настраивает его таким образом, чтобы его можно было успешно применить при работе со школьниками. Также, учитель подбирает специальные задания, предназначенные для обучения учеников навыку составления задач.

Во время проведения лекции, учитель сочетает свой рассказ с вопросами к классу, такими как: "А как вы думаете? Предложите свои варианты. Приведите опровергающий пример, попробуйте доказать самостоятельно, повторите доказательство, сформулируйте правило, определение или теорему. Кто может обобщить данное утверждение? Нет ли другого доказательства?". Такие вопросы стимулируют активную мыслительную работу учащихся на уроке и помогают им оставаться вовлечёнными в процесс познания. Даже при хорошо подготовленной лекции и стремлении учителя охватить на уроке целостный учебный материал, важно, чтобы учитель периодически прерывал свою лекцию вопросами: "Кому не понятно? Где возникли трудности? Кому всё ясно?". Ответы учеников на эти вопросы помогают учителю понять, что необходимо уточнить или объяснить более подробно. Особенно важно, чтобы учитель не только констатировал понимание или непонимание, но и поощрял школьников открыто выражать свои затруднения и неясности.

В каждом случае, когда школьник поднимает руку и просит повторить какое-либо утверждение или доказательство теоремы, учитель не должен испытывать раздражения. Напротив, он должен отнестись к этому с доброжелательностью и большим уважением к задающему вопрос. Учитель должен готовиться повторить все, начиная с самого начала, более подробно, и затем уточнить, удовлетворен ли ученик данным ответом.

Очень важно создать такую атмосферу на уроках, где ученики не боятся сделать ошибку и задать любой вопрос. Напротив, они должны стремиться ответить на вопросы учителя или своих товарищей. Лучше, чтобы учитель не успел пройти всё запланированное на уроке, чем использовать недовольный тон, чтобы прервать задавшего вопрос ученика или не допустить задавать вопросы вовсе.

Из всех видов уроков, урок-лекция является самым сложным, даже для опытного учителя. Во-первых, этот урок требует от учителя обширной подготовки. Во-вторых, в процессе лекции учитель должен одновременно выступать в роли блестящего лектора и поддерживать внимание всех учеников, а также контролировать и управлять их активностью.

Сложность урока-лекции определяется не только этим, но и тем, что в ходе занятия нужно решить целый комплекс взаимосвязанных задач:

- сделать материал лекции интересным для учащихся;

- обеспечить понимание сути изучаемого вопроса в процессе объяснения;

- познакомить учеников с методами математических исследований, используемыми при изучении данной темы;

- заложить основы не только для решения задач, но и для доступной исследовательской деятельности учащихся.

Для того чтобы урок-лекция не стала простым пересказом учебника, существуют определенные требования к школьной лекции:

- лекция должна быть интересной;

- научный уровень лекции должен соответствовать уровню развития учащихся;

- лекция должна быть информативной, развивающей и воспитывающей;

- новые темы должны непрерывно связываться с ранее изученным материалом;

- лекция должна представлять собой совместную работу учеников и учителя.

Особое внимание в данной технологии уделяется решению задач. Необходимо заранее выбрать ограниченное количество задач и сформулировать свои требования к учащимся. Четкое представление о количестве и типе задач, которые должны быть решены каждым учеником, позволяет избежать перегрузки. Для каждой темы выбираются 5-7 ключевых задач, которые помогут учащимся овладеть основными учебными навыками.

Поскольку ключевые задачи предполагается использовать со всеми учениками, их выбор включает задачи, для которых имеется известный алгоритм решения.

Для успешного решения нестандартных математических задач важную роль играет личный опыт учащихся, который они получают в процессе обучения.

Для достижения эффективности в использовании опыта при поиске методов решения задач особенно важным является узнавание последовательности ключевых задач в новых задачах.

Для проведения такого урока учителю необходимо:

- изучить учебную программу и определить необходимые умения, которые должны быть сформулированы у всех учащихся после изучения данной темы;

- систематизировать методы решения задач и отработать ключевые задачи по данной теме;

- проработать ключевые задачи и выбрать методы их решения;

- изучить возможные трудности и ошибки, с которыми учащиеся могут столкнуться при применении выбранных алгоритмов, диагностировать их и разработать способы их предотвращения и преодоления;

- объяснить учащимся последовательность разбора ключевых задач;

- запланировать проведение урока и составить технологические карты.

Нельзя утверждать, что после того как школьники ознакомились с интересной системой ключевых задач, все ученики класса в полной мере овладели методами решения задач. Для того чтобы идея ключевых задач действительно сработала, необходимо провести специальный урок, который можно назвать "уроком решения обучающих задач".

К основным задачам данного урока относятся:

- тренировка учащихся в решении ключевых задач;

- обучение учеников распознаванию ключевых задач;

- ознакомление школьников с решениями задач, которые можно свести к последовательному решению ключевых задач;

- систематизация методов решения задач по данной теме;

- обучение учащихся решению задач в ходе выполнения специальных упражнений.

Успех урока решения обучающих задач зависит от нескольких факторов, включая:

- соответствие системы обучающих задач особенностям класса;

- умение учителя психологически точно реагировать на ситуации, возникающие на уроке;

- способность учителя заинтересовать учеников в решении обучающих задач и поддерживать их интерес на нужном уровне;

- правильная организация работы по систематизации задач;

- знание учителем основных затруднений, с которыми сталкиваются учащиеся, и умение выбрать соответствующие средства их предотвращения и преодоления, и другие факторы.

В обычной школе ученики часто перестают обращаться с вопросами не только к родителям, но и к учителю. Возникает вопрос: возможно ли, что у школьников в этом возрасте нет затруднений с решением задач? На самом деле, практика показывает обратное - ребята испытывают серьезные трудности при самостоятельном решении задач. Родители уже не в состоянии помочь им с вопросами, а учитель редко предоставляет им такую возможность. В результате, теряется не только интерес к решению задач, но и к учению в целом.

Отсюда возникает идея организации взаимной деятельности учителя и учащихся, чтобы дети были поставлены в ситуацию, где они вынуждены задавать вопросы прямо на уроке. Для этого после изучения параграфа или его части, разбора системы ключевых задач, относящихся к этому материалу, и достаточной тренировки в решении и распознавании ключевых задач, проводится урок-консультация.

Основные задачи урока-консультации включают:

- оказание помощи ученикам в учебе и заполнение пробелов в их знаниях;

- обучение учащихся решению сложных математических задач;

- знакомство учеников с новыми методами решения задач по данной теме;

- обучение составлению математических задач;

- создание ситуаций успеха для учащихся;

- передача опыта учителя по решению задач своим ученикам;

- организация общения между учителем и учащимися при решении сложных задач.

Поэтому, на первых уроках-консультациях, если учитель не получает вопросов от учащихся, он предлагает им открыть учебник и анализировать имеющиеся там теоремы и задачи. Он показывает примеры вопросов, которые могли бы быть заданы учениками, но ускользнули от их внимания.

Учитель обращается к теоремам и задачам учебника, формулирует новые, довольно сложные вопросы на основе материала, чтобы научить ребят работать с учебником и указать им направление подготовки к последующим урокам-консультациям.

Совместная подготовка учителя и учащихся к уроку-консультации приводит к тому, что учитель получает большое количество задач, которые невозможно решить на всех уроках. Поэтому необходимо отобрать несколько из них (обычно 5-7), чтобы решение этого минимального числа задач вооружило всех школьников методами решения почти всех сформулированных ими задач.

В процессе подготовки к уроку-консультации иногда выясняется, что не все ключевые задачи были разобраны в классе, поэтому учитель может заполнить этот пробел во время консультации.

Карточки, которые ученики подготовили для урока-консультации, могут быть использованы учителем в качестве дидактического материала для повторения темы и организации контроля.

Зачетные уроки – это специальные уроки, на которых объединяются два класса. Они предназначены не только для контроля знаний и умений учащихся, но прежде всего для обучения, развития и воспитания школьников через индивидуальную работу с каждым школьником непосредственно на зачете.

На самом деле, при опросе у доски, многие учащиеся остаются неопрошенными по данной теме, а другие, получив двойку, исправляют ее ответом по совершенно другой теме, что приводит к накоплению проблем.

Контрольная работа выявляет эти проблемы, но не позволяет оказывать дифференцированную помощь. В традиционных формах обучения обычно страдают наиболее способные ученики, так как учителю приходится тратить время на повторение и объяснение материала, вызывающего трудности у слабых учеников, в то время как остальные ученики теряют интерес к предмету.

Зачетная система избавляет учителя от заботы о накоплении оценок на уроках. Зачет проводится по каждой изученной теме и способствует устойчивому освоению темы. Процесс сдачи зачета также приносит огромные преимущества студентам: они повторяют тему в целом на более высоком уровне по сравнению с предыдущим годом. Происходит переосмысление материала, систематизация и сравнение нового и старого, что способствует развитию мышления старшеклассников.

Для проведения зачета привлекаются старшие школьники. Перед зачетом старшеклассники получают специальное домашнее задание - подготовить зачетную карточку.

Зачетные уроки приносят значительные выгоды и учителю. Это обусловлено тем, что учитель практически не может опросить каждого ученика так, как это происходит на зачете. Кроме того, эти 40-45 минут вносят серьезный вклад в обучение, развитие и воспитание каждого из 25 (а иногда более) учеников, принимающих участие в зачете. Очевидно, что для учителя это одна из самых важных задач, которую традиционными методами решить практически невозможно.

Контрольная работа предназначена для проверки умения решать основные классы ключевых задач, правильно оформлять письменное решение, развития мышления учащихся, подготовки школьников к выпускным экзаменам и формирования уверенности в своих силах и возможностях.

Контрольная работа должна внушать ученикам не страх и неуверенность, а желание действовать, указывать направление работы, в котором следует совершенствоваться. В зависимости от целей урока, учитель прежде всего должен определить, что именно нужно контролировать.

Частично ответ на этот вопрос учитель уже знает. Во время подготовки лекции учитель определил цели изучения новой темы, выделил ключевые задачи, новые задачи по данной теме, основные знания и навыки, которыми должны обладать все ученики класса после изучения темы. Это позволяет учителю не только определить основные типы заданий, которые должны быть включены в контрольную работу, но и получить первоначальную модель предстоящей контрольной работы. Затем, наблюдая во время зачета и анализируя результаты, а также при подготовке к уроку, учитель сравнивает свою модель с тем, как ученики справляются с задачами из зачетных карточек. Имеется несколько возможных ситуаций.

В первой, наиболее распространенной ситуации учитель убеждается, что все школьники успешно справляются с решением определенной ключевой задачи. Они уверенно понимают задачу и безошибочно объясняют ее решение. Это позволяет учителю сделать вывод, что задача была освоена учениками, и поэтому нет необходимости включать ее в контрольную работу.

Во второй ситуации учитель определяет, что некоторые ученики испытывают серьезные трудности при решении определенной ключевой задачи. Мы уже встречались с такой ситуацией, поэтому отметим, что в ходе анализа результатов зачета учитель предоставляет дополнительную помощь ученикам, но не включает данную задачу в контрольную работу.

После зачетного урока учителем определяется список задач, которые будут включены в контрольную работу по данной теме.

Контрольные работы для учеников 8-9 классов и 10-11 классов различаются в сложности заданий. В работах для восьмиклассников и девятиклассников содержатся задачи, схожие с теми, которые рассматривались в классе, в то время как работы для учеников 10-11 классов включают задания, которые не решались ни на уроке, ни дома, и не обсуждались учителем в процессе консультаций.

Основными целями итоговых работ являются:

• подготовка к экзаменам;
• оценка сформированности умений решать основные типы задач, которые обычно включаются в выпускные и вступительные экзамены;
• обучение поведению на экзаменах, выбору последовательности решения задач;
• знакомство учащихся с новыми сложными задачами и методами их решения;
• получение информации о продвижении учащихся, на основе которой будут внесены окончательные коррективы в подготовку;
• демонстрация возможностей учащихся в накоплении опыта решения задач в условиях ограниченного времени;
• повторение методов решения задач.

Для систематизации методов решения задач по изученной теме, развития учеников и обучения составлению задач широко используются домашние контрольные и лабораторные работы. В дополнение, в данной технологии часто применяются тесты.

Контрольные работы оказывают воспитательное воздействие на детей, развивая их интерес и формируя уверенность. Школьники убеждены, что регулярная работа приводит к достижению хороших результатов, не только в смысле оценок, но и в получении признания со стороны учителя и одноклассников.

После анализа результатов контрольных работ, преподаватель, при необходимости, разъясняет отдельные теоретические вопросы, анализирует решения проблем, вызвавших трудности, и объясняет психологические причины неудач. Внеклассные формы работы, такие как математические боны, математические олимпиады, КВН, математические вечера, летняя математическая школа и работа научного общества учащихся (НОУ), являются неотъемлемой частью методики Р.Г. Хазанкина. Кроме индивидуальных форм работы, школьники активно участвуют в организации учебно-воспитательного процесса, включая разработку дидактических материалов, проверку тетрадей, помощь своим одноклассникам и проведение олимпиад.