Обучения школьников математике посредством решения задач

В педагогической работе преподавателя главное - стимулировать творческую инициативу, как всего коллектива учащихся, так и каждого отдельного ученика. Важна организационная связь между индивидуальной и коллективной деятельностью, а также управление коммуникацией между младшими и старшими учащимися.

Уроки должны быть содержательными и разнообразными по методике обучения. Система классных занятий, разработанная учителем, может включать в себя до восьми типов уроков: лекции, уроки решения ключевых задач, уроки обучающих задач, консультации, зачеты, уроки анализа результатов зачетов, контрольные работы и уроки анализа контрольных работ.

Начиная работу с новым классом, необходимо уделить внимание сбору и анализу информации о уровне знаний и навыков учащихся, а также их интересах. Можно провести беседу с классом, в ходе которой ученики узнают, что они могут делать в настоящий момент и что они могут и должны освоить, если пожелают.

Необходимо начинать с обширного повторения материала прошлых лет по времени и объему. После повторения каждой темы следует проводить зачет. Потраченное время полностью оправдывается. Учитель демонстрирует ученикам на примере знакомого материала, сколько вопросов возникает при его тщательном изучении, а также какие интересные решения могут быть предложены в задачах из учебника, которые не рассматривались в предыдущих классах. Такое повторение также позволяет лучше узнать учащихся, организовывать взаимодействие между старшеклассниками и младшими и создавать "ситуации успеха".

Рассмотрим специфику организации каждого типа уроков.

Лекционный урок - это совместные размышления и деятельность учителя и учеников. Он должен быть хорошо подготовлен и проведен таким образом, чтобы весь материал был рассмотрен в цельном блоке, обеспечивая высокий научный уровень изучаемого материала и доступность изложения, а также элегантность формулировок и решений. Именно на лекции ученики проявляют наибольший интерес к математике. Однако это возможно лишь в том случае, если лекция не превращается в простое повторение материала из учебника.

Ученики с интересом воспринимают новые направления. Работа над составлением задач помогает старшеклассникам подготовиться к зачетам и повторить методы решения задач на более высоком уровне. В процессе составления задач происходит настоящее сотрудничество между учителем и учениками, а также между учениками самих собой. Теперь учитель должен определить направление исследовательской деятельности для старшеклассников. Тот факт, что учащиеся "выросли" на год, открывает новые возможности для учителя и учеников.

На лекции действительно можно использовать знания школьников и организовать ситуацию, в которой они сами придумывают исследовательские задания. Исследование может быть проведено как на лекции, так и задано ученикам для самостоятельной работы.

Предстоит проведение опроса учеников о теории, поэтому очень важно спланировать работу по подготовке учащихся к такой деятельности. Для этого можно использовать имитацию опроса на лекции.

Учитель просит одного или нескольких учеников подготовиться к опросу по конкретным вопросам теории. Затем он вызывает одного из учеников, объясняет цель вызова и переходит к имитации опроса.

Ученик проводит опрос, а зачет сдает учитель. Учитель может играть разные роли от ученика, хорошо знающего и любящего математику, до ученика, не знающего таблицу умножения. Если младший делает ошибку, которую старший не замечает, учитель делает остановку. Ученик становится младшим, а учитель - старшим, показывая, как старший должен был действовать. При необходимости может быть повторное переключение и повторение опроса.

Может быть и обратная ситуация, когда зачет сдает ученик, а опрашивает учитель. Учитель не только задает вопросы, фиксирует ошибки и проводит исправление, но и объясняет ученикам, зачем задает определенный вопрос, какую работу выполнил перед выбором задания для ученика и так далее.

На доске можно вызвать двух учеников одновременно. Один будет сдавать зачет, а другой будет его принимать. Важными здесь также являются замечания и разбор ошибок со стороны учителя.

В заключительной части лекции для старшеклассников учитель представляет список теоретических вопросов для зачета, акцентируя внимание на тех вопросах, которые младшим ученикам следует задать обязательно. Также он делится замечаниями и "пропусками", которые он заметил в работе младших учеников. Например, младшие ученики не задали вопрос учителю о формулировке обратного утверждения основной теоремы. Учитель специально не обращал на это внимание младшим, но просил старшеклассников задать этот вопрос всем. Эта практика показывает, что подготовка старшеклассников к работе с младшими способствует тому, что младшие быстро осознают, что если они не зададут вопрос на уроке, им придется самостоятельно искать ответ на зачете. Таким образом, младшие ученики начинают понимать, что они заинтересованы в общении с учителем через задавание вопросов.

У преподавателей, которые только начинают использовать лекции, возникают следующие трудности:

• недостаточная профессиональная подготовка может быть одной из проблем;
• желание успеть всё и неумение психологически объяснить трудности, с которыми сталкиваются учащиеся при работе над темой. Также может возникнуть незнание методов, которые могут заинтересовать учащихся, поддерживать их интерес, учитывать психологические особенности класса, проводить анализ умственной деятельности, необходимый для усвоения материала и другие проблемы; 3) ограниченные материальные ресурсы школы также могут создавать трудности.

Основной материал должен быть повторен несколько раз, записан на доске или показан на слайде. Учащимся следует делать заметки.

Преподавание математики включает обучение решению задач в первую очередь. Учитель не должен настаивать на решении большого количества однотипных задач из учебника.

Даже для сложных задач, включая математические олимпиады, решение в конечном счете сводится к умелому распознаванию ограниченного числа идей, представленных учителем в ключевых заданиях. Введение системы ключевых задач позволяет ученикам качественно развивать свои навыки. Также это дифференцирует работу учеников, так как овладение решением ключевых задач гарантирует выполнение программных требований к их знаниям и умениям. Ученики, проявляющие интерес к математике, смогут свободно перейти к следующему этапу работы с математическими задачами, опираясь на эти ключевые задачи.

Такой подход помогает избежать перегрузки учеников и значительно облегчает работу учителя при планировании урока и проверке знаний учащихся.

Ключевые задачи играют важную роль в решении как стандартных, так и нестандартных математических задач. Они представляют собой основу, на которой ученик может опираться при решении задач по изучаемой теме в соответствии с учебной программой.

Рассмотрим несколько методов выбора ключевых задач. Первый метод основан на необходимых умениях, которые ученики должны освоить после изучения темы. Учитель может просмотреть известные ему задачи по этой теме и выбрать минимальное количество задач, которое позволит ученику овладеть навыками, необходимыми для решения любых задач из учебника, а также задач определенного уровня сложности.

При выборе ключевых задач следует учесть следующие критерии.

• Соответствие программе изучаемой темы.
• Значимость навыков, которые будут использоваться в последующих темах.
• Расход времени, необходимый для обучения учеников решению задач.
• Оптимальность алгоритмов решения задач.
• Возможность восхищения учеников качеством и красотой решений.

Задачи должны быть подобраны таким образом, чтобы их число составляло от 5 до 7 и чтобы в них были затронуты все необходимые навыки. Важно, чтобы более сложные навыки были представлены не только в одной задаче, но и в нескольких, чтобы избежать однообразия как в методах решения, так и в условиях задач. При выборе уровня сложности задач следует учитывать предыдущую подготовку учащихся и учитывать их ближайшую зону развития.

Вторым методом выбора ключевых задач можно назвать метод исключения и дополнения. Для его применения мы обращаемся к задачам, представленным в учебнике.

Мы начинаем с чтения первой задачи, которая является первым кандидатом для включения в систему ключевых задач. Затем переходим к следующей задаче. В этом случае у нас возможны несколько вариантов.

1. Вторая задача является аналогичной первой. В этом случае мы сравниваем первую и вторую задачи. Учитель должен решить, оставить ли первую или вторую в списке потенциальных кандидатов.

2. Вторая задача значительно отличается от первой и не включает ее. В этом случае мы добавляем эту задачу в список потенциальных кандидатов.

3. Вторая задача отличается от первой, но содержит ее в себе. Обычно это означает, что первую задачу следует исключить, а вторую добавить в список потенциальных кандидатов.

При использовании метода исключения и дополнения мы последовательно проходим по задачам, чтобы определить наиболее подходящие ключевые задачи для учебной программы. Этот метод помогает нам отобрать задачи, которые наиболее эффективно развивают навыки учеников и соответствуют программным требованиям.

Затем мы переходим к следующей задаче, и процедура повторяется. Если мы применим этот метод ко всем задачам в учебнике, то останется около 5-6 задач. Они будут включены в число выбранных ключевых задач на основе учебника.

Теперь учитель должен решить, достаточно ли ученикам уметь решать только эти задачи из учебника. Если ответ положительный, то процедура выбора ключевых задач завершена. Если ответ отрицательный, то мы должны продолжить выбор ключевых задач, обратившись к дополнительным источникам.

Следующий метод выбора ключевых задач основан на методах решения задач, которые учитель выбрал для работы с учащимися. Выбор происходит в такой последовательности:

• изучается набор задач в учебнике и дополнительных источниках;
• задачи соотносятся с методами решения, выбранными для работы с учащимися;
• выбирается 5-7 задач, при решении которых будут использованы все методы решения задач, отобранные учителем.

Следующий метод выбора ключевых задач можно назвать комбинаторным. Для его реализации мы выделяем объекты, которые фигурируют в задачах определенной темы, рассматриваем возможные комбинации этих объектов и затем выбираем задачу для наиболее важных комбинаций.

После выбора ключевых задач необходимо организовать последовательность их изучения на уроке. В этом случае рекомендуется придерживаться следующей стратегии:

• начните урок с простых и фундаментальных задач;
• сложные задачи, выходящие за рамки школьной программы, рассматривайте в конце урока;
• если одна ключевая задача или метод ее решения может быть использован для решения других задач, представьте эту задачу как можно раньше;
• оставьте более интересные и захватывающие задачи для второй половины урока, чтобы поддержать интерес учащихся и справиться с усталостью;
• сочетайте задачи, требующие подробного объяснения, с задачами, где не нужно писать длинные записи;
• разместите задачи, связанные с предыдущей темой, в начале урока, а задачи, которые активно используются в последующих темах, лучше рассмотреть позже.

Планирование содержательной части урока выполнено. Теперь нужно продумать самостоятельную работу учащихся на разных этапах урока: анализ условия и выводы, выполнение отдельных шагов алгоритма и целых решений учениками, запись решений в тетрадь, задавание вопросов в ходе урока. Необходимо также находить ответы на вопросы одноклассников и учителя, систематизировать методы решения ключевых задач.

Для того чтобы урок по решению ключевых задач стал отправной точкой для самостоятельного исследования учащихся, важно создавать и поддерживать интерес и увлеченность учащихся в процессе работы над задачами. Поэтому при изучении решений ключевых задач рекомендуется обратиться к лекции.

Чтобы сэкономить время в процессе обучения оформлению решений, учитель может использовать математический уголок в классе.

Разумно организовать выставку лучших тетрадей старшеклассников, в которых представлены грамотные и безупречные решения ключевых задач. В развивающем математическом обучении большое значение имеет система обучающих задач. Без умения решать ключевые и обучающие задачи невозможно справиться с нестандартными или комбинированными задачами. Наиболее важным и ответственным первым шагом является выбор системы обучающих задач.

В педагогической литературе можно встретить различные подходы к обучению решению математических задач. В каждом из них выделяются следующие действия ученика: распознавание типа задачи и метода ее решения, реализация выбранного метода решения, анализ опыта работы с задачей. В планируемой системе обучающих задач должны быть представлены задачи на распознавание, задачи на реализацию каждого из выбранных методов с учениками и задачи на применение.

Важно, чтобы ученики осознавали свою деятельность. Поэтому после решения задачи учитель может задавать следующие вопросы ученикам: "Почему мы использовали данный метод? Могли ли мы использовать другой метод? Было ли решение проще, если бы мы использовали другой метод?"

Обсуждение этих вопросов является необходимым, так как оно позволяет всем ученикам непосредственно на уроке понять решение каждой задачи и поддерживать их внимание на нужном уровне. На уроке решения задач предполагается отработка уже изученных методов, которые не всегда вызывают интерес. Поэтому важно обеспечить самостоятельность учащихся и варьировать уровень сложности задач, включая в них и очень легкие, и чрезмерно сложные. При подготовке к уроку задачи подбираются с учетом того, чтобы ученикам приносило радость решение задач, и ученикам, и учителю.

Учитель должен быть гибким в подходе. С одними учениками можно поделиться тем, что он сам не может решить задачу из-за необходимости выполнить определенное действие. Другим ученикам достаточно указать на ошибку, которую они совершили, и позволить им найти ее самостоятельно.

С третьей группой учеников необходимо применить нежесткий подход и просто улыбнуться "хитро". Ученики, скорее всего, поймут, что им самостоятельно нужно найти решение. Понятно, что нет единого рецепта, но учитель должен помнить, что он может быть помощником, советником, генератором идей, критиком и т.д.

Когда учитель практически не предоставляет возможность задать вопросы о затруднениях и запросить помощи, тогда на помощь могут прийти консультационные уроки.

Урок-консультация проводится в соответствии с расписанием школы. Перед этим уроком ученики готовят карточки с задачами и вопросами по изучаемой теме, которые вызывают у них интерес. На карточках указываются фамилия и имя ученика, полный текст задачи и источник, откуда она была взята. Карточки ученики сдают до начала учебного дня в день проведения консультации. Источники задачи могут быть учебником, дополнительными задачниками, журналами "Квант" и "Математика в школе", а также числом предложений, представленных учителем на предыдущих уроках, и зачетными карточками по изучаемой теме, которые есть в кабинете математики.

При подготовке к консультации ученик обычно выполняет следующие действия.

• Готовит вопросы по теории, включенные в зачет, и определяет те вопросы, которые он не разобрал.
• Изучает методы решения задач по теме и выявляет затруднения, возникающие при их решении.
• Пытается решить задачи, которые вызвали затруднения.
• Просматривает дополнительные источники, где содержатся задачи по теме, и выбирает "кандидатов" для включения в карточку.
• Отбирает задачи, которые он не может решить, а также те задачи, которые могут привлечь внимание класса и учителя.
• Составляет карточку для урока-консультации.

Карточка составляется следующим образом. При просмотре задач ученик задает себе вопрос: "Могу ли я решить данную задачу?" Затем он проводит мысленную прикидку, пытается решить задачу и т.д. Если ученик может решить задачу или уже решил ее, то она обычно не включается в карточку. Если же ученик не может решить задачу или после неудачных попыток, он фиксирует задачу и источник, где она находится. Такая задача становится кандидатом на включение в карточку. После просмотра всех доступных источников ученик собирает достаточно много задач. Затем, основываясь на своих предпочтениях, он группирует отобранные задачи. Некоторые задачи он пытается решить самостоятельно, а по другим обращается к своему научному руководителю, который будет проверять ему выполнение. Обычно в карточку к уроку-консультации включается от трех до пяти задач.

Такая подготовка ученика к уроку имеет важное значение по нескольким причинам. Во-первых, самостоятельное обращение к дополнительным источникам и работа с задачами, которые не были заданы учителем, происходят по желанию ученика. Это своего рода рефлексия, которая превышает простое решение задач, поставленных учителем. Кроме того, важно, что ученик учится работать с учебником и развивает навык самообучения. Значимость такой работы нельзя недооценивать, так как она "заставляет" ученика взаимодействовать со старшими школьниками в контексте учебного процесса. Это делает работу над изучаемой темой совместным делом двух учеников.

Деятельность учащихся на уроке-консультации включает следующие аспекты: знакомство с решением задач, запись решений интересующих школьников задач, освоение опыта учителя в решении "неожиданных задач", ознакомление со стратегией поиска решений, изучение эвристических методов, используемых при поиске решения и прочее. Часто после консультации ученики собираются в группы, чтобы решить задачи, которые не были подробно разобраны на уроке, но учитель указал идею решения.

Теперь перейдем к подготовке учителя. Заметим, что существенная часть подготовки к данному уроку уже выполнена в процессе общей разработки темы и подготовки к предыдущим занятиям. Основной этап подготовки - работа с карточками учеников перед уроком.

Цель состоит в том, чтобы отобрать вопросы теории и задачи для обсуждения на уроке, которые могут помочь учителю оказать поддержку ученикам, создать ситуацию успеха, развить их интересы и творческие возможности.

При работе с карточками учеников, учитель выполняет несколько процедур. Рассмотрим три из них.

• Процедура классификации заключается в том, что из набора задач, содержащихся в карточках, учитель группирует задачи, которые схожи по содержанию, методам решения, сложностям, с которыми ученики могут столкнуться при решении, и тому подобному.
• Процедура обобщения заключается в том, что вместо группы задач учитель рассматривает "общую" задачу, которая является обобщением всех задач в данной группе. Понятно, что если будет найдено решение этой обобщенной задачи, то путем подстановки конкретных значений можно получить решение всех задач в этой группе.
• Процедура интеграции заключается в том, что формулируется одна задача, решение которой позволяет ознакомить школьников с решением нескольких задач. Здесь учитель просто сообщает метод решения одной задачи или проводит ее разбор, а конкретное решение может быть выполнено учениками в процессе дальнейшей работы над темой.

Выполнение этих процедур позволяет определить минимальное количество задач, которые необходимо рассмотреть на уроке. Это минимальное количество выбирается учителем таким образом, чтобы обеспечить ответы на все вопросы учащихся, исключая те, которые выходят за рамки изучаемой темы. Затем учитель выбирает последовательность разбора задач. Вначале рассматриваются те задачи, которые максимально могут заинтересовать класс. Кроме того, если одна и та же идея лежит в основе метода решения разных задач или решение задач связано с преодолением одних и тех же трудностей, то предпочтение отдается задаче, в которой идея является более ясной, чтобы ученики, овладев новой идеей, могли применить ее уже в более сложной ситуации при решении последующих задач.

Учитель должен быть готов к тому, что на первых консультациях учащиеся не составят карточки, и потребуется терпеливая и тщательная работа по обучению школьников, начиная с учебника. Например, если ученики не предоставили карточки на консультацию, учитель может вызвать лучшего ученика класса к доске. Он обратит внимание класса на то, что не у него нет вопросов, затем демонстративно откроет учебник и предложит ему выполнить задание. Не обращаясь к пояснениям, учитель привлечет внимание ученика у доски и всего класса к тому факту, что данная задача могла быть включена в карточку на консультации.

Итак, первыми начинают готовить карточки лучшие ученики. Учитель благодарит ребят за них, что является стимулом для других групп учащихся.

Таким образом учитель показывает, что задачи из учебника источник задач к уроку-консультации. Довольно скоро, получив и изучив карточки к уроку-консультации, учитель замечает, что в карточках только задачи из учебника. Тогда он вызывает ученика доске K и предлагает ему решить задачу, которая разбиралась на уроке. На лице учеников легко читается недоумение. Ученик также удивлен, легко расправляется с задачей, а дальше его ждет сюрприз сформулировать и решить обратную задачу. Довольно быстро выясняется, что ни ученик у доски, ни класс не могут решить новую задачу. Ученики осознают, что задачи из учебника могут быть изменены переходом к обратной задаче, к аналогичной задаче и т.п. Все "самостоятельно сформулированные задачи чутко улавливаются учителем, находят у него признание и поддержку. Так в карточках появляются задачи, которых не было в учебнике.

Обратившись к теоремам и задачам учебника, учитель учит ребят работать с текстом, формулировать новые вопросы и задачи на их основе, а также указывает им направления работы с учебником в подготовке к последующим урокам-консультациям. После этого учитель похвалил ученика за то, что ему удалось придумать интересную и неожиданную задачу. Реакция и поддержка учителя приводят к тому, что все заинтересованы и хотят найти решение задачи. В другой ситуации, когда никому не удалось решить задачу на уроке, даже неясно, как к ней подойти, поиск решения продолжается и на перемене, и старшеклассники также быстро включаются в него. Задача вызывает интерес у всех.

Зачетные уроки представляют собой индивидуальную работу, которая служит не только для контроля и оценки знаний, но также для обучения, воспитания и развития учеников.

Такой урок довольно сложно подготовить, особенно если в зачете участвуют два класса. Младший класс является тем, который сдает зачет, а старший класс - тем, который его принимает. Мы описываем процесс подготовки учителя, младших и старших школьников к проведению зачета.

Следующий этап - подготовка учащихся к проведению зачета. Это определенно упрощается тем, что нужно подготовить только один класс, старший, так как младшие школьники уже были подготовлены на предыдущих уроках. Давайте обсудим некоторые аспекты подготовки учителя на завершающей стадии, обращая особое внимание на первые зачеты, в которых принимают участие старшие школьники.

Первоначально учитель должен систематизировать свои впечатления о младших школьниках, которые возникли в результате анализа проведенных уроков перед зачетом. При необходимости учитель может обратиться к психологической литературе, где обсуждаются особенности данного возраста, чтобы использовать это знание при общении со старшими школьниками. В соответствии с потребностями младших школьников психологи выделяют следующие группы, для которых может потребоваться помощь: 1) стимулирующая помощь;

2) помощь в эмоциональной регуляции;

3) помощь в исправлении ошибок;

4) организационная помощь;

5) обучающая помощь.

Каждая из этих групп детей требует определенного руководства в учебной деятельности. Для учеников первой группы рекомендуется найти наставника, который поможет им поверить в себя, стимулируя их к самостоятельному выполнению заданий, оказывая деликатную, терпеливую, ненавязчивую помощь. Встречи с наставником могут происходить не только на организованных занятиях, но и случайным образом во время перемены, по пути домой, дома и т.д.

Для второй группы учащихся, рекомендуется выбирать школьников, которые являются терпеливыми и внимательными, способными вовремя похвалить своего младшего напарника или, наоборот, быть требовательными и высказать критику.

Старшие, связанные с учениками третьей группы, должны прежде всего обладать педагогическими навыками, так как им приходится обучать своих подопечных общеучебным навыкам. Они сами должны быть хорошо организованными, уметь объяснять и подбирать упражнения, анализировать задачи.

Учащиеся четвертой группы в основном требуют организационной помощи, поэтому им понадобятся старшие школьники, которые организованы, всегда справляются со своими планами и имеют разносторонние интересы. Наблюдения показывают, что старшим удается предоставлять планомерную помощь своим подопечным, вовлекая их в деятельность различных секций и кружков, в которых сами старшеклассники участвуют. Таким образом, они проводят больше времени в общении со младшими и оказывают на них подходящее влияние.

Наконец, для пятой группы учеников учитель выбирает наставников, которые сами нуждались в таком виде помощи и с которыми учитель терпеливо и последовательно повторял математическую программу, иногда начиная с пятого класса.

Этот этап подготовки к зачету завершается разделением двух классов на пары учеников, которые будут работать на зачете. Среди этих пар есть "жестко" фиксированные пары. Есть два типа таких пар. К первому типу относятся пары, где у младших школьников серьезные пробелы в знаниях и навыках, и они прежде всего нуждаются в обучающей помощи. К этим ученикам назначаются старшие, которые терпеливы, умеют объяснять и тактично следуют предложениям учителя. Второй тип пар определяется по старшим школьникам. Учитель очень ценит время тех учеников, которые достигают успехов в олимпиадах, поэтому им предстоит работать с потенциальными участниками олимпиад, подготавливая их к соревнованиям и поделившись своим опытом. Каждый младший мечтает попасть на такого наставника, хотя и понимает, что сдать зачет с таким наставником будет самым сложным.

Ясно, что для успешного прохождения зачета необходимо приготовить старших учеников теоретически и педагогически. Если теоретическое обучение проводится в форме лекции для старшеклассников, то педагогическая подготовка включает следующие пункты: повторение уже известных методов решения задач, изучение новых методов, знакомство старших учеников с возможными трудностями младших школьников, методами диагностики трудностей, их предотвращения и помощи, обучение учеников формулировать вопросы, выявлять проблемы, придумывать нужные примеры, реагировать на ошибки своих товарищей, выставлять оценки, обучение коммуникации на зачете, терпению, разумной требовательности, подготовка учениками материала для прохождения зачета, знакомство с требованиями к заданиям, правилами оценивания и т.д. Учитель должен спланировать такую работу со старшими учениками. В данном тексте мы остановимся более подробно на теоретической подготовке старшеклассников. Таким образом, к моменту прохождения зачета старшеклассниками должна быть прочитана лекция, и они должны составить зачетную карточку. Обычно на это отводится два часа.

Необходимо придать особое значение проведению контрольных работ. Во время таких уроков списывание исключено, так как задания выбираются из вариантов вступительных испытаний в различные университеты страны. Поэтому контрольные работы имеют элементы игры, поскольку ученики представляют себя на экзамене в определенном институте. Им интересно узнать, смогут ли они справиться с экзаменом и какие оценки получат. Понятно, что такое соревнование стимулирует честное выполнение работы. Элемент соревнования вводит сам учитель, который всегда интересуется заданиями, которые его ученики выполняли на вступительных экзаменах по математике.

Полезно включить в контрольную работу задания, которые явно указывают, что их решение должно быть осуществлено с использованием методов, изученных в соответствующей теме, но оптимальное решение может быть найдено с помощью метода, изученного в предыдущих темах.

Важно отметить, что сам процесс выполнения работы может быть организован как игра или соревнование. В этом случае учитель сообщает, что одно из заданий было включено в вступительные испытания на определенный факультет известного университета, и что знакомый выпускник этой школы успешно справился с этим заданием на олимпиаде, или что задание, доступное для седьмого класса и включенное в контрольную работу, не смогли выполнить выпускники средней школы во время вступительных экзаменов. Ученики воссоздают ситуацию вступительных экзаменов.

Для подготовки домашних контрольных работ учитель выбирает методы составления задач или теоретические сведения, которые, по его мнению, активно применяются при решении задач по данной теме и должны быть известны школьникам. Затем учитель представляет эту информацию и методы ученикам и предлагает им составить задания по каждому из направлений.

Контрольные работы могут также проводиться в форме лабораторных работ. Особенно эффективно такое подход при использовании компьютерной техники. При этом могут быть использованы такие важные навыки, как обучаемость, то есть готовность к принятию помощи, умение работать с учебниками и т.д. В этом случае на контрольной работе школьникам могут быть предложены материалы, которые они должны изучить, а затем выполнить специальное задание.

Широкие возможности для письменного контроля предоставляют тесты, которые могут быть специально разработаны для определенных целей.

Чтобы повысить эффективность контрольных работ, в первую очередь необходимо правильно выбирать задачи, которые помогут не только оценить уровень усвоенных навыков и выявить сложности, но и способствовать развитию учащихся. Понятно, что поиска решения задачи стоит проводить в зоне ближайшего развития школьников, то есть они должны быть теоретически и практически готовы к выполнению заданий. Однако, чтобы выполнить контрольную работу, они должны сделать нечто новое, что они раньше не делали. Для одних учеников новизна состоит в том, что им предстоит выполнить гораздо больший объем работы за ограниченное время, чем раньше. Для других новизна заключается в том, что ученик сам должен осознать необходимость и возможность применения известного материала.

В заключение следует отметить, что контрольные работы имеют значительное воспитательное влияние на учащихся, развивая их интерес и уверенность в себе. Школьники осознают, что регулярный труд приводит к хорошим результатам. Они ценят положительное отношение со стороны учителя и своих одноклассников, и для них только честная оценка имеет престиж. Списывание полностью исключено.

Задания контрольных работ выбираются из вариантов вступительных заданий различных университетов страны и имеют игровой элемент - школьники представляют себя на экзамене в институте. Они интересуются, смогли бы они сдать такой экзамен и какие оценки бы получили. Часто варианты заданий уже выполнялись их старшеклассниками на вступительных экзаменах, и они знают и помнят результаты, поэтому соревнуются, в первую очередь, с ними. Этот элемент соревнования вводит сам учитель, он всегда интересуется заданиями, которые его ученики выполняли на вступительных экзаменах по математике. Предварительно он сообщает школьникам, что они будут писать работу, за которую на вступительном экзамене была получена отличная оценка, и желает им успешно выполнить её.

Эффективность контрольных работ обусловлена их диагностической направленностью. Результаты работ помогут учителю формулировать задачи обучения, воспитания и развития школьников на следующих этапах.

Контрольные работы отражают результаты учебной деятельности учеников на протяжении всей изучаемой темы. Для школьников важно не только узнать результаты, но и понять причины, по которым они не смогли выполнить отдельные задания, а также найти другие возможные подходы к решению задач и сравнить свои результаты с результатами старшеклассников и др. Для этого учитель проводит специальный урок по анализу результатов контрольной работы.

Результаты зачета и контрольных работ подвергаются анализу. Под анализом результатов работ учеников мы понимаем особый вид педагогической деятельности, направленной на исследование педагогических явлений с целью создания их модели, оценки результатов и объяснения педагогических выводов, а также прогнозирования будущей деятельности учащихся старших и младших классов.

Перед проведением зачета учитель собирает информацию и продолжает наблюдения во время самого зачета. Он начинает наблюдать сразу, когда учащиеся получают зачетные карточки. В первую очередь он обращает внимание на тех, кто не занят работой. Однако наблюдения за ними проводятся незаметно. Основная цель наблюдений в этот период урока - определить, нуждается ли ученик в помощи и в чем именно. Здесь учитель должен быть терпеливым и, что самое главное, не спешить.

Учитель анализирует задания на карточке, определяет наиболее рациональный порядок их решения, разрабатывает различные методы решения текущих задач ученика. Все эти сложные и трудноуловимые действия необходимы учителю для проверки и выяснения причин затруднений. Учитель должен быстро принять решение о том, как реагировать на возникшие у ученика трудности, даже при неполной информации.

Очевидно, что не существует одного универсального рецепта, поскольку все зависит от особенностей каждого ученика, его подхода к обучению и набора задач, включенных в зачетную карточку.

Ученики, которым оказывается помощь, относятся к ней очень внимательно, но не ожидают ее. Они прекращают выполнение заданий только тогда, когда учитель обращается к ним напрямую. В таком случае они внимательно слушают, но не делают записей. Другие ученики заняты решением своих задач - у них на карточках совершенно разные задачи, поэтому они не отвлекаются на разговор учителя и одноклассника.

Учитель наблюдает, как ученики осуществляют план решения задач. Его интересует:

• планы, которые ученики разрабатывают;
• альтернативные варианты, которые рассматривались;
• методы решения, которые ученики пытались применить и на каком из них остановились;
• самоконтроль в процессе решения задач;
• ключевые проблемы, которые ученик выявил.

Для сбора этой информации учителю необходимо проводить продолжительные наблюдения за поведением и деятельностью ученика при решении задач.

Учитель может задавать специальные вопросы, например: "Как ты определил, что следует решить данную ключевую задачу?" После получения ответа от ученика, он может продолжить с вопросом: "А как ты понял, что нужно использовать другую ключевую задачу?" Эти вопросы и ответы учеников позволяют учителю оценить, владеют ли они методами распознавания ключевых задач. Если учитель обнаружит недостаточное владение этими методами, он учтет это при подготовке к анализу результатов зачета на следующих уроках.

Ученики уже заняты работой, поэтому учитель может искать ответы на свои вопросы в их тетрадях. Тетради лучших учеников - ценный источник информации, поскольку в них можно увидеть ошибки учителя в чистом виде. В работах других учеников ошибки учителя смешиваются с их собственными ошибками, что усложняет анализ их работ в течение короткого времени, особенно во время проведения зачета. Если учитель обнаружит, что на уроках по решению ключевых и обучающих задач не уделялось достаточное внимание самоконтролю, он может присесть рядом с учеником или собрать несколько студентов возле учительского стола и объяснить метод самоконтроля, быстро продемонстрировав решение одного из примеров и попросив ученика объяснить его, уделяя особое внимание самоконтролю.

Учитель будет продолжать наблюдение за учениками, так как важно убедиться в том, как они с помощью метода самоконтроля находят ранее допущенные ошибки.

Одним из наиболее эффективных способов усвоения и развития практических навыков и теоретических знаний являются различные внеурочные мероприятия, такие как кружки, факультативы, "математические бои" между командами разных классов, а также занятия в летней математической школе. Однако значительную часть организационной работы должны выполнять сами школьники.

Примером таких мероприятий может быть научное общество учащихся, которым руководит совет под руководством самого авторитетного старшеклассника в области математики. Организация такой деятельности крайне трудна, поскольку она основана на энтузиазме школьников, то есть основное условие-это их заинтересованность в результатах своей работы. Главная задача педагога в этом случае заключается в помощи в организации и последующем наблюдении за работой учащихся.

Если такая система сможет функционировать, то ее результаты могут быть очень высокими.