Скачать бесплатно

Грозный - 2019

Содержание
Введение…………………………………………………….. 

Вспомогательные результаты………………………………
Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре…………………………………………………
Первая задача Векуа……………………………..………….
Вторая задача Векуа………………………………………….
Заключение…………………………………………………..
Литература…………………………………………………..

Введение

В данной работе рассматривается краевые задачи Римана-Гильберта-Пуанкаре в многосвязных областях плоскости с кусочно-гладкой границей. Они возникают в геометрии, при исследовании вопросов жесткости поверхностей и как нерешенные отмечены в монографии И.Н.Векуа. Получены критерии нетеровости краевой задачи и вычислен индекс. Отметим, что в случае многосвязной области с гладкой границей их решил М.М. Сиражудинов [2]. Здесь мы обобщаем эти результаты на кусочно-гладкий случай. Исторически первая подстановка задачи для аналитических функций восходит к Риману [2], она выглядит так: требуется определить аналитическую формулу в области по известному соотношению между действительной и мнимой частями на границе области. Полное решение этой задачи в односвязной области в случае, когда действительная и мн имая ча сти u и υ уд овлетворяют на гр анице ус ловию Re((a-iβ)(u+iυ))=au+βυ=γ, где a^2+β^2=1, да л Ги льберт [4]. В мо нографии И.Н. Ве куа [1 ] от меченная пр облема ре шена дл я об общенных ан алитических фу нкций и дл я не которого кл асса эл липтических си стем дв ух уравнений. В по следующем по пытки уч еных бы ли на правлены на об общение за дачи дл я ан алитических фу нкций (в мно госвязных об ластях ). А в [2-4] ра ссматриваются кр аевые за дачи в од носвязных об ластях дл я об щих эл липтических систем, ус тановлена не теровость и да ется фо рмула дл я индекса. За дача из учается с по мощью си нгулярных ин тегральных оп ераторов в m- св язных об ластях плоскости. В ра боте [7]ра ссматриваются кра евые за дачи в од носвязной об ласти дл я од нородной эл липтической си стемы с де йствительными коэффициентами, в ко торых по рядок си стемы бо льше по рядков пр оизводных в кр аевых условиях. Сис темы с по стоянными ко эффициентами из учены А. В. Бицадзе, А. П. Со лдатовым и др..
Ф.Д.Гахов ра ссматривает за дачу ти па Ги льберта дл я фу нкций с кр аевым условием, со держащим пр оизводные ра зных порядков. К эт ой за даче пр иводится мн огие за дачи те ории бе сконечно ма лых из гибаний по верхностей по ложительной кривизны, а та кже за дачи бе змоментной те ории оболочек. Та кая за дача ра ссм атривается в тр етьем па раграфе ди пломной работы. В по следнее вр емя по строена об щая те ория эл липтиче ских кр аевых за дач в об ластях с ку сочно-гладкими гр аницами
. К из учению кр аевых за дач дл я ур авнений в ча стных пр оизводных в об ластях с не регулярными то чками на гр анице пр иводят мн огие ва жные пр икладные задачи. Эт а те ория на ходит пр именение в те ории упругости, ме ханике сп лошных сред, в ра зличных во просах ас имптотической те ории ди фференциальных ур авнений с ча стными производными, в те ории пр иближенных ме тодов . По эт им во просам им еется мн ого литературы. Дл я ко рректной по становки за дачи в об ласти пл оскости ка к с гл адкой , та к и ку сочно-гладкой гр аницей ну жны по доб рать по дходящие пр остранства функций, в ко торых ра ссматриваются ре шения задачи, пр авые ча сти ур авнений и гр аничных условий. Во мн огих та ких за дачах уд обно ис пользовать ве совые пр остранства Со болева и Гельдера, гд е ве с-некоторая ст епень ра ссто яния до то чек гр аницы области. Та кие пр остранства фу нкций в эт их за дачах пр авильно оп исывают ос обенности ре шения и ег о пр оизводных в ок рестности не регулярных то чек границы. Пр и ис следовании кр аевых за дач в об ластя х с не гладкой гр аницей пр именяется ме тод св едения да нной кр аевой за дачи в мн огосвязных об ластях с ку сочно-гладкой гр аницей к ре шению ин тегро-дифференциальных уравнений.
Вп ервые из учать эл липтические за дач в об ласти с уг ловыми то чками на чал Ра дон [12], ко торый св ел кр аевую за дачу дл я ур авнения Ла пласа к ин тегральным ур авнениям на гр анице области, в сл учае пл оской об ласти с уг ловыми то чками на ее границе. В да льнейшем ме тод Ра дона на шел ши рокое пр именение в кр аевых за дачах те ории функций, пл оской те ории упругости, об щей те ории эл липтических задач. Ши рокий кл асс кр аевых за дач в об ластях с ку сочно-гладкой гр аницей дл я ан алитических фу нкций те сно св язан с си нгулярными ин тегральными ур авнениями и в ко мбинации с ко мформными от ображениями до пускает пр ямое эф фективное ис следование (см. [1], [2], [10]). Пр едставление ре шения че рез бе сконечно-дифференцируемые фу нкции на шел ши рокие приложения. Трудности, ко торые св язаны с тем, чт о в ук азанном пр едставлении по мимо са мой фу нкции уч аствуют и ее производные. Кр аевые за дачи в дв ухмерном пр остранстве в об ласти с уг ловой то чкой ра ссматривает Я.Б.Лопатинский. Пр именяя ме тод св едения кр аевой за дачи к ин тегральному ур авнению на границе, он по лучил ус ловия но рмальной ра зрешимости та кой кр аевой за дачи в пр остранствах C^k (Q) – функций, у ко торых вс е пр оизводные по рядка k вк лючительно не прерывны в Q ̅Я. Б. Ло патинский св одит об щую гр аничную за дачу дл я эл липтической си стемы ( с по стоянными ко эффициентами ) в пл оской об ласти с гр аницей со держащей ко нечное чи сло уг ловых то чек к си стеме ин тегральных ур авнений и из учая эт у си стему с по мощью Ф-операторов, на ходит яв ную фо рмулу дл я ее ин декса [8]. На личие уг ловых то чек де лает эт у си стему сингулярной. Бо льшое чи сло работ, по священных из учению об щих кр аевых за дач в об ластях с ос обенностями на гр анице ти па уг ловой ил ко нической точки, оп убликовали В. Г. Ма зья и Б. А. Пл аменевский .В ра ботах А. П. Со лдатова [1 8-22] да ются за конченные ре зультаты по кр аевым за дачам дл я об щих эл липтических си стем с по стоянными коэффициентами.В ра боте [1 5] М. М. Си ражудинова ра ссматриваются кр аевые за дачи дл я об щих эл липтических си стем ( с пе ременными ко эффициентами ) в ог раниченной об ласти пл оскости с ку сочно-гладкой границей. Да вид Ги льберт ро дился 23 ян варя 18 62 го да в Кёнигсберге, Пруссия. Ис следования Ги льберта ок азали бо льшое вл ияние на ра звитие мн огих ра зделов математики. Тв орчество Ги льберта охватывало, по существу, вс ю математику. В те ории ин вариантов Ги льберт до казал ос новную те оремы о су ществовании ко нечного ба зиса си стемы инвариантов. Ра боты Ги льберта по те ории ал гебраических чи сел пр еобразили эт у об ласть ма тематики и ст али ис ходным пу нктом ее да льнейшего ра звития
Ги льберт вы сказал ид ею пр остранств на д не коммутативными телами. Да нное Ги льбертом ре шение пр облемы Ди рихле по служило на чалом ра зработки пр ямых ме тодов в ва риационном ис числении (и звестны ин вариантный ин теграл Ги льберта и те орема су ществования аб солютного эк стремума Гильберта). По строенная Ги льбертом те ория ин тегральных ур авнений с си мметрическим яд ром пр ивела ег о к ря ду понятий, ко торые ле гли в ос нову со временного фу нкционального ан ализа и ос обенно сп ектральной те ории ли нейных операторов.

Риман, Ге орг Фр идрих Бе рнхард (1826–1866), не мецкий математик, из вестный св оими ра ботами по те ории фу нкций ко мплексного пе ременного и но ваторскими те ориями в об ласти ди фференциальной геометрии. Ро дился 17 се нтября 18 26 в де ревне Бр езеленц бл из Га нновера в се мье лю теранского пастора. Ин новационные тр уды Ри мана за ложили ос нову со временной ма тематики и ра зличных ис следовательских областей, вк лючая ма тематический ан ализ и геометрию. Ег о ра боты на шли пр именение в те ориях ал гебраической геометрии, ге ометрии Ри мана и те ории ко мплексного мн огообразия

Ад ольф Ху рвиц и Фе ликс Кл яйн до ступно из ложили те орию ри мановых поверхностей. Эт от ас пект ма тематических зн аний яв ляется ос новой топологии, и по се й де нь ши роко пр именяется в со временной ма тематической физике. Ри ман та кже со вершил ря д по воротных от крытий в те ории «д ействительного анализа». Он вв ёл «и нтеграл Римана», на йденный по средством «с умм Римана», и вы вел те орию тр игонометрических ря дов
Ан ри Пу анкаре ро дился 29 ап реля 18 54 го да в г. Нанси. По лучив уч ёную степень, Пу анкаре на чал пр еподавательскую де ятельность в ун иверситете го рода Кан в Нормандии Тог да же он оп убликовал св ои пе рвые се рьёзные ст атьи — он и по священы вв едённому им кл ассу автоморфных функций. Пу анкаре со здал но вый ра здел ма тематики — ка чественную те орию ди фференциальных уравнений. Он показал, ка ким об разом можно, не ре шая ур авнения (п оскольку эт о не вс егда возможно), по лучить пр актически ва жную ин формацию о по ведении се мейства решений. Эт от по дход он с бо льшим ус пехом пр именил к ре шению за дач небесной механики и математической физики

§1. Вс помогательные ре зультаты
Об означения и не которые понятия. В ра боте мы по льзуемся сл едующими об означениями и понятиями. Q – ог раниченная св язная об ласть плоскости, гр аница ∂Q ко торой со стоит из об ъединения за мкнутых ко нтуров Г_0,…,Г_m, пр ичем Г_0 со держит вн утри се бя ос тальные контуры. Ин аче говоря, Q ес ть (m+1) – св язная об ласть плоскости. Ко нтуры Г_0,…,Г_m, на зываются ко мпонентами гр аницы ∂Q.m+1 – по рядок св язности области. C_a^l (Q ̅ ),(C_a^(0 )= C_a ) – ба нахово пр остранство 1- ра з не прерывно-дифференцируемых фу нкций 1- е пр оизводные ко торых уд овлетворяют в Q ̅ ус ловию Ги льдера с по казателем a ∈ (0;1) с об ычной нормой. C^l (Q ̅ ),(C^0=0) – ба нахово пр остранство 1- раз не прерывно-дифференцируемых фу нкций с ес тественной нормой. W_p^l (Q),p>1, - пр остранство Соболева. Пр остранство “с ужений” ег о эл ементов на ∂Q об означим че рез W_p^(l-1/p) (∂Q). Об а эт и пр остранства банаховы.
Мы говорим, чт о ∂Q пр инадлежит кл ассу C_a^l, ес ли ве ктор-функция x=x(s) (г де s-д лина ду ги кривой), за дающая ∂Q пр и ес тественной па раметризации пр инадлежит C_a^k. Аналогично, ес ли фу нкция f (x) за данная на ∂Q, то пи шем f∈C_a^k (∂Q), ес ли f(x(s)), ка к фу нкция пе ременной s, пр инадлежит C_a^k. По лную пр оизводную эт ой фу нкции об означаем пр и по мощи то чки на д фу нкцией: f=∂f/∂s
Пу сть λ=λ(t),t∈∂Q , не прерывная и не вырождающаяся на ∂Q матрица, в частности, функция. Ин дексом λ на зывает ся де ленное 2πi пр иращение ло гарифма фу нкции det λ пр и од ном по лном об ходе гр аницы в по ложительном направлении, ос тавляющем слева. Дл я об означения ин декса пр именяются си мволы Ind detλ,Ind λ. Пу сть λ_j=λ|г_j – су жение λ на -ю ко мпонен ту границы, то гда ин дексом су жения мы на зываем ин декс λ_j, ра ссматриваемой ка к ма трица (ф ункция) на г_j. Пр и эт ом г_j ра ссматривается са ма по себе, ка к гр аница ог раниченной об ласти вн утри Г_j. Кр оме того, ес ли k_j, - ин дексы сужений, то, очевидно, Ind λ=k_0-k_1-…-k_m. Ма трицу a (x) бу дем на зывать эллиптической, ес ли ее со бственные зн ачения им еют от личные от ну ля мн имые части.
Да нная ра бота по священа од ной кр аевой задаче, во зникающей пр и ис следовании во просов же сткости по верхностей в мн огосвязной об ласти пл оскости с ку сочно-гладкой границей. По лучены кр итерии не теровости кр аевой за дачи и вы числен индекс.
Он а во зникает пр и ис следовании во просов же сткости по верхностей и ка к не решеннаяотмечена в мо нографии И.Н.Векуа [1]. Отметим, чт о в сл учае мн огосвязной об ласти с гл адкой гр аницей их ре шил М.М.Сиражудинов [2].Здесь мы об общаем эт и ре зультаты на ку сочно-гладкий случай.
На помним не которые по нятия и об означения из ра боты [2], [3 ] пр именительно к на шей задаче.

Ве совые пр остранства Гельдера.
Пу сть Q – об ласть пл оскости с ку сочно гл адкой границей, J – ко нечное по дмножество гр аничных то чек (куда, в частности, вк лючаются вс е уг ловые точки), и пу сть
ρ_β (x)=∏_(τ ∈ J)▒|x-τ|^(β(τ)) ,x∈Q, (1.1)
– ве совая функция, гд е β={β(τ)┤|τ∈J} – пр оизвольное фи ксированное се мейство де йствительных чисел. Се мейство β на зывается ве совым порядком, ли нейные оп ерации и не равенства <, ≤ на д ве совыми по рядками по нимаются покомпонентно. В частности, ρ_β ρ_γ=ρ_(β+γ). Ко гда вс е β(τ) совпадают, β от ождествляется с числом, на пример β=1 эк вивалентно β(τ)=1, τ∈J.
Об означим че рез H_(μ,β) (Q) банаховопространствофункций, дл я ко торых ко нечна ве личина
‖u; H_(μ,β) (Q)‖=‖ρ_(-β) u‖_0+〖{ρ_(μ-β) u}〗_(μ,Q), (1.2)
где0<μ≤1, 〖{v}〗_(μ,Q)=sup_(x,y∈Q) |x-y|^(-μ) |v(x)-v(y)|, ‖v‖_0=sup_Q |v(x)|. Но рма (1.2) в сл учае ог раниченной об ласти Qэк вивалентна но рме
‖u‖_1=‖ρ_(-β) u‖_0+supρ_(μ-β) (x)|x-y|^(-μ) |u(x)-u(y)|, (1.3)
гд е su pбе рется по вс ем x,y∈Q, дл я ко торых δ<ρ_1 (y) ρ_(-1) (x)<δ^(-1) (0<δ<1-любое фиксированное число).
Пр и β=μпр остранство H_(μ,μ) (Q) со впадает с по дпространством H_μ (Q): H_(μ,μ) (Q)={u∈H_μ (Q)┤| u_(| J)=0}. Пр и эт ом H_(μ,μ) (Q) ‒ но рма эк вивалентна H_μ (Q) ‒ норме, гд е H_μ (Q) ‒ об ычное пр остранство Гёльдера.
Оп ределим пр остранство ди фференцируемых фу нкций
H_(μ,β)^n (Q)={u┤|u∈H_(μ,β)^(n-1) (Q),D_j u∈H_(μ,β-1)^(n-1) (Q),j=1,2}, (1.4)
пр ичем H_(μ,β)^0=H_(μ,β), D_j=∂/∂x_j,j=1,2.
Но рма в (1.4) оп ределяется ра венством
‖u‖=∑_(j=0)^n▒〖∑_(i=0)^j▒‖D_1^(j-i) D_2^i u;H_(μ,β-j) (Q)‖ =〗 ∑_(j=0)^n▒∑_(i=0)^j▒〖‖ρ_(j-β ) D_1^(j-i) D_2^i u‖_0+〗
+∑_(j=0)^n▒∑_(i=0)^j▒〖〖{ρ_(m+j-β ) D_1^(j-i) D_2^i u}〗_(μ,Q).〗 (1.5)
От носительно эт ой но рмы пр остранство H_(μ,β)^n (Q) банахово.
Пу сть Qограничена, то гда но рма(1.5) эк вивалентна ка ждой из сл едующих но рм
‖u‖_1=∑_(j=0)^n▒∑_(i=0)^j▒〖‖ρ_(j-β ) D_1^(j-i) D_2^i u‖_0+〗 ∑_(i+j=n)▒〖〖{ρ_(μ+n-β ) D_1^(j-i) D_2^i u}〗_(μ,Q),〗
‖u‖_2=∑_(j=0)^n▒∑_(i=0)^j▒〖〖(‖ρ_(j-β ) D_1^(j-i) D_2^i u‖〗_0+〗 〖{ρ_(μ+n-β ) D_1^(j-i) D_2^i u}〗_(μ,Q)). (1.6)
Вв едем ба нахово пр остранство H_(μ,(β)) (Q) фу нкций u(x), ко торые вн е лю бой ок рестности J,H_μ ‒ не прерывны и вб лизи τ∈Jпр едставляются в ви де
u(x)=P_τ (x)+u_τ (x),
P_τ (x)=∑_(i+j=0)^(k(τ))▒〖a_(τ,ij) x_1^i x_2^j 〗,u_τ (x)∈H_(μ,β_τ ) (Q_τ ), (1.7)
гд е P_τ ‒ мн огочлен пе ременных x_1, x_2ст епени k(τ)<β_τ (в частности, P_τ=0 пр и β_τ≤0), Q_τ ‒ кр иволинейный се ктор с ве ршиной в то чке τ. Но рму вH_(μ,(β)) (Q) оп ределим ра венством
‖u‖=∑_(τ∈J)▒〖(‖P_τ ‖+‖Ϛ_τ u_τ;H_(μ,β_τ ) (Q_τ )‖)+‖Ϛ_0 u;H_μ (Q)‖ 〗, (1.8)
гд е ‖P_τ ‖=∑_(i+j=0)^(k(τ))▒|a_(τ,ij) | , {Ϛ_τ,τ∈J} –ра збиение единицы, та кое чт о Ϛ_τ ра вно ед инице вб лизи то чки τ, Ϛ_0=1-∑_(τ ∈ J)▒Ϛ_τ .
Пр остранство H_(μ,(β) ) яв ляется ко нечномерным ра сширением пр остранства H_(μ,β) (н ульмерным пр и β≤0).
Пр остранства H_(μ,(β)) (Q) оп ределим ан алогично (1 .4):
H_(μ,(β))^n (Q)={u∈H_(μ,(β))^(n-1) (Q),D_1 u,D_2 u∈H_(μ,(β-1))^(n-1) (Q)}, (1.9)
причемH_(μ,(β))^0=H_(μ,(β)). Но рма пр остранства (1.9) оп ределяется ан алогично но рме пр остранства (1.4), ис ходя из но рмы (1.8).
На м по надобятся та кже пр остранства
H_(μ,β)^n (∂Q\ J) и H_(μ,(β))^n (∂Q\ J)
функций, оп ределенных на гр анице об ласти (Q ) ̅\ J. Он и оп ределяются ан алогично пр остранствам фу нкций в области. Пу сть Г ‒ гл адкая дуга, и пу сть x=γ(s), 0≤s≤l‒е стественная па раметризация Г, гд е l‒д лина ду ги.Пус ть на Г за дана фу нкция u(x) точкиx∈Г. По лагая x=γ(s), мы мо жем ра ссматривать uка к функцию, оп ределенную на от резке [0,l]. Бу дем говорить, чт о uпр инадлежит H_(μ,β)^n (Г)(H_(μ,(β))^n (Г)), ес ли v(s) = u(x(s)) пр инадлежит H_(μ,β)^n (0,l)(H_(μ,(β))^n (0,l)). Пр и эт ом пр остранства H_(μ,β)^n (0,l), (H_(μ,(β))^n (0,l)) оп ределяются ан алогично со ответствующему пр остранству по об ласти (с за меной Q на (0,l) и Jна {0,l}).
Пу сть Г1, …, Гk, гд е k‒ чи сло то чек J, ‒ гл адкие дуги, со ставляющие гр аницу ∂Q, li‒д лина Гi. Говорят, чт о u∈H_(μ,β)^n (∂Q\ J), ес ли су жение u на Гi, i = 1, …, k, пр инадлежит H_(μ,β)^n (0,l_i ).Нормой в H_(μ,β)^n (∂Q\ J) бу дет су мма H_(μ,β)^n (0,l_i ) ‒ но рм сужений. Ан алогично оп ределяется и пр остранство H_(μ,(β))^n (∂Q\ J).

Ве совые пр остранства Соболева.
Об означим че рез L_(P,β) (Q),1≤p<+∞ - пр остранство Ле бега (к лассов) функций, дл я ко торых ко нечна ве личина:‖u‖=(∫_Q▒〖P-pβ-2(x)|u(x)|^p dx〗)^(1/p)
От носительно эт ой но рмы L_(P,β) (Q) – ба нахово пространство. По ложим W_(p,β)^0 (Q)=L_(P,β) (Q) и оп ределим пр остранство W_(p,β)^n (Q) ин дукцией W_(p,(β))^n (Q)={u|u∈W_(p,β)^(n-1) (Q),D_i u∈W_(p,β-1)^(n-1) (Q),i=1,2},
где n=1,2,… Пр и эт ом но рма зд есь оп ределяется од ной из сл едующих фо рмул ‖u;W_(p,β)^n (Q)‖=∑_(j=0)^n▒∑_(i-0)^j▒‖D_1^(j-i) D_2^i u;L_(p,β-j) (Q)‖ ,
‖u‖_1=(∑_(j=0)^n▒∑_(i-0)^j▒‖D_1^(j-i) D_2^i u;L_(p,β-j) (Q)‖^p )^(1/p),
‖u‖ (‖ζ_0 u;W_p^n (Q)‖^p ‖+∑_(τ∈J)▒‖ζ_0 u;W_p,β_τ^n (K^τ )‖^P ‖)^(1/p)
Пр остранство W_(p,(β))^n (Q) оп ределим аналогично,H_(μ,(β))^n (Q). Пу сть W_(p,(β))^0 (Q)=L_(P,(β) ) (Q) кл асс фу нкций оп ределенных на Q, ко торые пр инадлежат пр остранству L_p вн е лю бой ок рестности J. И таких, чт о вб лизи то чки τ он и пр едставляются в ви де (1.4), гд е u_τ∈L_(p,β_τ ) (Q_τ ).
Пр остранство W_(p,(β))^n (Q) оп ределим ра венством W_(p,(β))^n (Q)=W_(p,(β))^n (Q)={u|u∈W_(p,β)^(n-1) (Q),D_i u∈W_(p,β-1)^(n-1) (Q),i=1,2}где n=1,2,…
Пр и эт ом но рма оп ределяется фо рмулой ‖u;W_(p,β)^n (Q)‖=‖ζ_0 u;W_p^n (Q)‖+〖sup〗_(τ∈J) (‖ζ_0 u;W_(p,β_τ)^n (K_τ )‖+∑_(i+j)^(k(τ))▒‖D_1^i D_2^j P_τ u‖ ), Пр остранство W_(p,(β))^n (Q) со впадает с пр остр анством W_(p,β)^n (Q) при β<0 и ес ть ег о ко нечномерное ра сширение в пр отивном случае. Св ойствах вв еденных пр остранств об ъединим в пр едположении Пр едло жение 2. Пу сть Q – ог раниченная область.
То гда им еют ме сто ут верждения (а ) Се мейство W_(p,β)^n (Q),W_(p,(β))^n (Q) мо нотонно уб ывают по вс ем тр ем па раметрам ( т.еW_(p_2)^n (Q) W_(p_1)^n (Q) ( при p_1 ≤p_2 и т.д ) Оп ератор ум ножения u→p_β u ос уществляет из оморфизм пр остранств W_(p,λ)^n (Q)→W_(p,λ+β)^n (Q)
(в ) Вл ожения W_(p,β)^n (Q)⊂W_(p,(β))^(n-1) (Q) компактны. Пу сть p<2, то гда пр и n>1 им еет ме сто ко мпактное вл ожение

W_(p,β)^n (Q)⊂Н_(p,λ)^(n-1) (Q), гд е λ=β+μ-μ_0,0<μ<μ_0,μ_0=(p-2)/p при μ=(p-2)/p вл ожение ограниченное. Та кие же вл ожения им еют ме сто и дл я лю бого β такое, чт о β_τ∉N∪0. (с ) Ут верждение (с ) пр едложения 1 сп раведливо и в да нном случае, ес ли вм есто вз ять и вм есто Н_μ^n (Q ̅ ) вз ять Н_p^n (Q ̅ ) и вм есто Н_(μ,0)^n (Q)-W_(p,-1/p) (Q).
(d) Пу сть от ображение ∅:Q→Q_1 та кой же ка к в (d) пр едложения 1. То гда им еет ме сто ут верждение ан алогичное (d) пр едложения 1.
(е ) Пр оизведение фу нкций (к ак би линейное от ображение) ог раничено W_(p,λ) (Q)×W_(p,β) (Q)→W_(p,λ+β)^n (Q)
Пр иλ≤β пр оизведение фу нкций ог раничено W_(p,λ) (Q)×W_(p,β)^n (Q)→W_(p,(λ) ) (Q)
Пр остранства фу нкций на гр анице области.
На м по надобятся та кже пр остранства H_(μ,β) (∂Q∖J),H_(μ,(β))^n (∂Q∖J), W_(p,β)^(n-1/p) (∂Q∖J) и W_(p,β)^(n-1/p) (∂Q∖J) функций, оп ределенных на гр анице об ласти Q ̅∖J.
Он и оп ределяются ан алогично пр остранствам фу нкций в области. Пу сть Г- гладкая ду га и пу сть x=Υ(s), 0≤s≤l - ес тественная па раметризация Г, гд е l- дл ина дуги.
Пр и по мощи x=Υ(s) функции, оп ределенные на Г, мо жно соотнести, на от резок [0,1].
Бу дем говорить, чт о u пр енадлежит H_(μ,β) (Г)(H_(μ,(β))^n (Г)), ес лиu(s)=u(x(s))пр инадлежит H_(μ,β) (0,l),H_(μ,(β))^n (0,l) оп редел яется ан алогично соо тветствующему прос транству по области.
Пу сть Г_1,…,Г_k, гд е k-ч исло то чек J, гл адкие дуги, со ставляющие гр аницу ∂Q,l_i – дл ина Г_i
Говорят, чт о u∈H_(μ,β)^n (∂Q∖J), ес ли су жение u на Г_i ,i=1,…,k пр инадлежит H_(μ,β)^n (0,l_i) Но рмой вH_(μ,β)^n (∂Q∖J) бу дет су мма H_(μ,β)^n (0,l_i) - но рм сужений. Ан алогично оп ределяется и пр остранство H_(μ,(β))^n (∂Q∖J).

Ко нцевой си мвол А.П. Солдатова.
Пу сть (Г1, …, Гs) ‒ гл адкие (к лассаС^∞) дуги, со ставляющие гр аницу ∂Q, пр ичем s = |J|‒ чи сло уг ловых точек. На ряду с об ычной то пологией дл я уд обства вв едем на ∂Q со ставную топологию, в ко торой ко нцы вс ех ду г Гjсч итаются различными. За нумеруем последниеτ_1,…,τ_2s, сч итая τ_(2j-1)и τ_2j ко нцами Гj(τ_(2j-1) ‒ начало, τ_2j ‒ конец). В со ставной то пологии ка ждая ду га ес ть св язная ко мпонента и ∂Q = ⊕_1^s Г_j. Фу нкция ℵ(x), не прерывная на ⊕Г_j, ку сочно не прерывна в об ычной то пологии ∂Q с од носторонними пр еделами ℵ(τ_i), i = 1, …, 2s, в то чках J.
Мн ожество но меров 1, …, 2s ра збиваем на s = |J| па р P_1, …, P_sта ким образом, чт о дл я па ры P_j={k,r}ко нцы τ_kи τ_r“ле жат на д” то чкой τ_((j) )==τ∈J. Пу сть Q_τ⊂Q‒к риволинейный се ктор с ве ршиной в то чке τ= =τ_((j) )∈J. Ег о ра створ об означим ϑ_jи пу сть 0<ϑ_j<2π. Ед иничные ве кторы ка сательных к бо ковым ст оронам се ктора Q_τ в то чке τ=τ_((j) ) об означим q_kи q_r. Точнее, q_k=a(τ_k ), q_r=a(τ_r ), гд е a(z)=(z-τ)/|z-τ|, z∈〖∂Q〗_τ. Па ра P_j={k,r}в да льнейшем уп орядочена ус ловием
argq_k-argq_r=ϑ_j, P_j={k,r}.(2.1)
Пу сть q^Ϛ (λ)≝〖{(Req_k+λ Imq_k)/(Req_r+λ Imq_r)}〗^Ϛ, λ∈C, ‒фу нкция отλ, пр ичем ве твь ст епенной фу нкции фи ксирована условием(2.1). Вв едем кв адратную ма трицу по рядка N:
v_j (Ϛ )=〖{(Req_k+J Imq_k)〖(Req_r+J Imq_r)〗^(-1)}〗^Ϛ=q^Ϛ (J).(2.2)
Ма трица по оп ределению ес ть зн ачение фу нкции от ма трицы f(u)=〖=q〗^Ϛ (u)приu=J. Оп ределим в то чке τ_j=τ∈J си мвол x_j (Ϛ) Со лдатова ра венством
x_j (Ϛ )=1-c^(-1) (τ_j-0)v_j (Ϛ )c(τ_j+0)v ̅_j^(-1) (Ϛ ), (2.3)
гд е с = ℵ ̅^(-1) ℵ ,v ̅_j (Ϛ )≝(v_j (Ϛ ̅ ) ) ̅. По ложим
y_j (Ϛ )=(1+R_j)(1-v_j v ̅_j^(-1)), (2.4)
гд е 1‒ ед иничная матрица, R_j‒ лю бая фи ксированная ис чезающая на∞ ра циональная ма трица-функция такая, чт о:
(i)y_j (Ϛ )ан алитична на вс ей пл оскости и de ty_j (Ϛ )≠0пр и |Re Ϛ|<Mcне которым до статочно бо льшим M>0;
(ii)в по луплоскости Re Ϛ<0 фу нкция de t (1+R_j (Ϛ )) им еет од инаковые чи сла (в ключая кр атности) ну лей и полюсов.

§2. За дача Римана-Гильберта-Пуанкаре. Ра ссмотрим кр аевую за дачу
(2.1) A〖 u〗_x+B u_y=F ∈〖 H〗_((β-1))^(n+1)(Q),
(2.2) ∑_(j=1)^(l+1)▒〖a_j D_x^(l+1-j) u D_y^(j-1) u=g∈H_((β-l))^n 〗 (∂Q∖J),
где a_j-матрицы k-го порядка,действительные элементы которых бесконечно дифференцируемы в Q и в ∂Q∖J соответственно. Пр остранства та кие же ка к в па раграфе 1. Считаем, чт о си стема (2.1) эллиптическая, то ес ть de t (Аβ_1+ Bβ_2) ≠ 0.
Ес ли по ложить β_1= λ и β_2=1, по лучим ха рактеристический мн огочлен ма трицы В: P(λ) = de t( B–λE). Следовательно, ма трица В им еет то лько ко мплексные со бственные значения.
Со вершим (2.1),(2.2) за мену
u = Sv,
гд е S = (S_1⋮S ̅_1), ? = (υ_1 υ ̅_1 )^'- но вый ис комый столбец. То гда на ша за дача (2.1), (2.2) ра вносильна за даче (2.3) E〖 v〗_x+ Λ〖 v〗_y+ A_1 υ_1+ A_2 υ ̅_1=F
(2.4) Re (∑_(j=1)^(l+1)▒〖〖a_j D〗_x^(l+1-j) u D_y^(j-1) u+ Du〗)=2^(-1) g,
гд е A_1 υ_1,A_2 υ ̅_1,D?− мл адшие чл ены кр аевой задачи.
За даче (2.3)-(2.4) со ответствует оп ератор А, де йствующий из пр остранства X_((β))^(n+1) (Q) в пространство X_((β-1))^(n+l-1) (Q)× Y_((β-l)^n (∂Q ∖ J)
по фо рмуле
Au=(A〖 u〗_x+B u_y,Re(∑_(j=1)^(l+1)▒〖D_x^(l+1-j) u D_y^(j-1) u〗)\∂Q\J)

И пу сть ¯∂−оп ератор сл едующей за дачи Рим ана-Гильберта дл я си стемы Эй лера-Даламбера:
u_x+i〖 u〗_y=f ∈ X_(β-1)^(n-1) (Q)
Re u= f ∈Y_β^n (∂Q ∖ J),u ∈ X_β^n (Q)
Ка к известно, см.нап ример:[13], оп ератор ¯∂ не теровый и ег о ин декс да ется фо рмулой
In d∂ = −k + ∑_(τ∈J)▒〖(⦋β_τ θ_τ/π⦌+1) –k(m-1),〗
гд е k−по рядок ма трицы ;[.]− це лая ча сть чи сла; m− чи сло вн утренних ко мпонент границы.
Об означим че рез ε_V оператор,действующий из пространства 〖 X〗_β^(n+1) (Q)×V в пространстао Х(Q)× Y_β^(n+1) (∂Q) × V
Он нетеровый, ко гда
β_τ≠πk/θ_τ + 1,
гд е k− лю бое це лое чи сло τ∈J. Ес ли оп ератор G_V A, оп ределенный фо рмулой
G_V A= (∂_Z ̅ (A〖 u〗_x+B u_y ),Re (∑_(j=1)^(l+1)▒〖a_j D_x^(l+1-j) u D_y^(j-1) u〗)_(∂Q\J),
Re (A〖 u〗_x+B u_y )∂Q\J

нетеровый, то K_V и Aне теровые ил и не т одновременно, и в сл учае не теровости
Ind G_V A=Ind G_V+Ind A
Ес ли l≥ 2, с по следней по ступаем аналогично. В ре зультате по лучим оп ератор K_V1 K_V A. По вторяя эт и ра ссуждения че рез I ша гов мы по лучим оп ератор A_0, из не теровости ко торого сл едует од новременная не теровость ил и не т оп ераторов А и G_(Vl-1)…G_V1 G_V. Следовательно, из не теровости A_0 сл едует не теро вость А пр и ус ловии β_τ=πk/Q_τ +j,j=1,l+1,τ∈J,
гд е k- лю бое це лое число. Пр и вы полнении по следних ин дексы А и A_0 св язаны ра венст вом
Ind A = Ind A_0-k∑_(j=1)^(l+1)▒{[(β_τ- j) θ_τ/π]+ 1} -k(l+1-1)(m-1)
Из учим те перь оп ератор A_0. По по строению он яв ляется оп ератором сл едующей кр аевой за дачи
∂_z ̅^l (A〖 u〗_x+B u_y) = f Re (∂_z ̅^j (A〖 u〗_x+B u_y))= ∅_j ,j=0,l-1,

Re (∑_(j=1)^(l+1)▒a_j D_x^(l+1-j) u D_y^(j-1) u)= ∅, Пусть
N :Y (q;∂Q\J) → Y(n;∂Q\J)−
оп ератор де йствующий на су жение 〖υ⎸〗_(∂Q\J)по фо рмуле
N〖υ⎸〗_(∂Q\ J)= (〖(d^q υ)/〖ds〗^q ⎸〗_(∂Q\ J) ),
гд е q = l−j−1, j = ¯(0,l-1;) d/ds– ди фференцирование по ду ге пр и ес тественной па раметризации границы. И пу сть Lоператор, оп ределенный фо рмулой
Lw=(ε?, N?), w = (u,?) ∈X (n;Q) ×Y(n+q;∂Q\ J),
гд е ε− то ждественный оператор. По сле де йствия оп ератора Lпо рядки ст арших чл енов в кр аевых ус ловиях ст ановятся одинаковыми. Пр едставим си стему и кр аевые ус ловия в ви де (2.1),(2.2). Ко рни ха рактеристического по линома си стемы P(λ ) = (-λ+i)^lde t (−λE+?) ра сположены в ве рхней полуплоскости, по этому к на шей за даче мо жно пр именить сл едствие те оремы 2.1. Со гласно сл едствию за дача (2.1),(2.2) не теровая то гда и то лько тогда, ко гда вы полнены ус ловия (2.5)-(2.7). Пр и вы полнении эт их условий, ин декс за дачи да ется ра венством (2.8), гд е N = G ̅:
de tN =ż^(∙(kl(l-1)/2) (γ,) ̅
где
γ≡de t (a_(l+1) T_1 Λ^l- a_1 T_1 Λ^(l+1)+… + (-1)^l a_1 T_1).
Та ким образом, до казана
Те орема 2.1. Дл я не теровости за дачи (2.1), (2.2) не обходимо и дос таточно вы полнения сл едующих ус ловий
(2.5) γ ≡ de t (a_(l+1) T_1 Λ^l- a_1 T_1 Λ^(l+1)+… + (-1)^l a_1 T_1) ≠0∂QJ,
(2.6) γ(τ_j±0)≠ 0, τ_j ∈J,
(2.7) de t〖 X〗_j (ξ)≠0 на пр ямой Reξ = β_τj- l,
гд е X_j (ξ) - ко нцевой си мвол А.П. Солдатова. Пр и вы полнении по следних ин декс за дачи да ется ра венством
Ind A = 2Ind_r γ ̅+ kl (ẏ -ix)–∑_(j=1)^|J|▒Ind_βτ X_j (ξ) Y_j^(-1) (ξ)-
(2.8)-k ∑_(τ∈J)▒∑_(j=1)^(l+1)▒〖{[(β_τ-j) θ_τ/π] +1}- k(l^2+l+1)(m-1).〗

§3. Пе рвая за дача Векуа.
Ра ссмотрим сл едующую кр аевую за дачу (∂υ_j)/∂x-i (∂υ_j)/∂y=f∈X_((β-1))^1 (Q), (3.1)
m_(1 ) ∂_z υ_1+n_1 ∂_¯z ¯υ_1- m_2 ∂_z υ_2-n_2 ∂_¯z ¯υ_2+ + p_1 υ_1+r_1 ¯υ_1-p_2 υ_2-r_2 ¯υ_2, (3.2)
гд е〖 m〗_1,n_1,…,p_2,r_2― не которые функции,〖 ∂〗_z= ∂/∂x-i ∂/∂y, Q-(m+1)св язная об ласть пл оскости с ку сочно-гладкой границей, состоящей из гладких (классаС^∞) дуг Г1, …, ГS (связные части гомеоморфны окружности), s= |k| ‒ число угловых точек.
Пространства X_((γ))^r (Q)=H_(μ,(γ))^r (Q), Y_((β))^r (L_j\ J)=H_(μ,(β))^(n+1-1/p) (L_j\J),

если задача рассматривается в весовых пространствах Гельдера и 〖 X〗_((γ))^r (Q)=W_(p,(γ))^r (Q), 〖 Y〗_((β))^r (L_j\J)=W_(p,(β))^(n+1-1/p) (L_j\J)

в случае весовых пространств Соболева.
Имеет место
Теорема. Для нетеровости задачи (3.1), (3.2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1) m(x)≡(n_2 ¯m_1-n_1 ¯m_2 )(x)≠0всюду на ∂Q\ J.
2) m(τ_j±0)≠ 0, τ_j∈J.
3) На прямой Reξ=β_τ-1нет нулей функции
det⁡〖X_j 〗 (ζ)=(1-e^(2iθ_j ξ))2(e^(4iθ_j ζ) A+e^(2iθ_j ζ) B+1). (3.3)
где A_i,B_i‒некоторые функции зависящие от mi,ni, pi, ri, i= 1,2.
Пусть ε-достаточно малое фиксированное число, такое что в “полосе” 0<|Reζ|<ε нет нулей функции (3.3)(такое ε существует). Тогда индекс задачи дается равенством
〖Ind〗_(-ε) A=s-6(m-1),(3.4)
где s=2 [〖Ind〗_(Г ) a], m – число внутренних компонент границы ([а] –целая часть числа а).В случае произвольного β_τ, τ∈J (для которого имеют место 1) ‒ 3)), индекс задачи дается равенством
〖Ind〗_(β_τ ) A=〖Ind〗_(-ε) A±∑_(τ ∈ J)▒〖[〖(β〗_(τ )-1) θ_τ/π]+1〗. (3.5)
Знак “+” соответствует случаю, когда〖1-ε<β〗_(τ ), a “-” —〖1-ε>β〗_(τ ).
Доказательство:
Представим краевое условие в следующем виде:
Re[(■(-i(m_1+n ̅_1 )&-i(m_2+n ̅_2 )@-(m_1-n ̅_1 )&(m_2+n ̅_2 ) )) ∂/∂y (υ_1¦υ_2 )+
+(■(m_1+n ̅_1&-(m_2+n ̅_2 )@-i(m_1-n ̅_1 )&i(m_2-n ̅_2 ) )) ∂/∂x (υ_1¦υ_2 )+
+(■(p_1+r ̅_1&-(p_2+r ̅_2 )@-i(p_1-r ̅_1 )&i(p_2-r ̅_2 ) ))(υ_1¦υ_2 )]=(Ψ_1¦Ψ_2 ) (3.6)
где Ψ_1+〖iΨ〗_2=Ψ. Здесь мы использовали равносильность равенства вида A+B ̅=θ двум равенствам Re(A+B ̅ ) = Ψ_1, Re(-iA+iB ̅ )=Ψ_2, Ψ=Ψ_1+〖iΨ〗_2.
Задаче (3.1), (3.6)поставим в соответствие оператор
A:X_((β))^2 (Q)→Y(Q)×Y_((β-1))^1 (L_1\ J),
определенный формулой Av=├ (Av┤|_Q, Re(Bυ├ )┤|_(∂Q\J)).
Задачу (3.1), (3.6) будем называть нетеровой, если таковым является оператор A и индекс этого оператора назовем индексом задачи. Задача (3.1), (3.2) и задача (3.1), (3.6) эквивалентны в смысле нетеровости и в случае нетеровости имеют равные индексы.
Пусть ∂ ̅ ‒ оператор следующей задачи Римана-Гильберта для системы Коши-Римана:
{█(∂_z u=f∈X_((β-1))^n (Q)@Re u=φ∈Y_((β))^(n+1) (∂Q\ J),@u∈X_((β-1))^n (Q) )┤. (3.7)
Как известно, см. например: [2], оператор ∂ ̅ нетеровый и его индекс дается формулой Ind ∂ ̅=-k∑_(τ ∈ J)▒〖([β_(τ ) θ_τ/π]+1)-k(m-1) 〗,
где k ‒ число уравнений системы, β_(τ )‒ фиксированное семейство действительных чисел.
Обозначим ε_v ∶V→V ‒ тождественный оператор, где V ‒ любое фиксированное банахово пространство функций на ∂Q\ J.
Тогда оператор (см. [4])
G_V=(∂ ̅,ε_v ) ∶X_((β))^(n+1) (Q)×V→X_((β-1))^n (∂Q\ J)V
нетеровый тогда и только тогда, когда
β_(τ )≠πk/θ_τ +1, где k‒ любое целое число, θ_τ ‒ раствор криволинейного сектора в точке
τ∈J.
Изучим теперь оператор G_V A, очевидно он является оператором следующей краевой задачи
∂_z Av=∂_¯z^2 v_j=f_j, (3.8)
Re(Av)=φ_0,Re(Bυ)=φ (3.9)
Задача (3.8), (3.9) есть частный случай задачи Пуанкаре из [4]
∑_(j=1)^(r+1)▒a_j D_x^(r+1-j) u D_y^(j-1) u=f, (3.10)
Re(∑_(j=1)^r▒b_j D_x^(r-j) u D_y^(j-1) u )=φ, (3.11)
где〖 a〗_1,…,a_(r+1)=1 – квадратные матрицы порядка к, принимаемые С^∞ (Q ̅).
Системе (3.8) соответствуетхарактеристическиймногочлен 〖(-λ+i)〗^2, поэтому к нашей задаче можно применить следствие 8.3 теоремы 8.6.[4].Согласно этому следствию задача (3.10), (3.11) нетерова тогда и только тогда, когда выполнены условия
detN ≠0на∂Q\ J, (3.12)
detN (τ±0)≠0, τ∈J.(3.13)
detx_j (ξ)≠0на прямой Reξ=β_j-r+1 (3.14)
При выполнении этих условий индекс задачи(3.10), (3.11) дается равенствам
Ind A=Ind_Г N ̅^(-1) N-∑_(j=1)^|J|▒〖Ind_(β_j-k) (x_j (ξ) y_j^(-1) (ξ))-〗 lr^2 (m-1),
Здесь N=G ̅ ‒ матрица, определяемая по коэффициентам краевых условий и системы, которая в нашем случае имеет вид:
G=(█(■(-i(m_1+n ̅_1 )&i(m_2+n ̅_2 )&m_1+n ̅_1@-(m_1-n ̅_1 )&m_2-n ̅_2&-(m_1-n ̅_1 )@i&0&1)■(-(m_2-n ̅_2 )@i(m_2-n ̅_2 )@0)@■( 0 &i )■(0 & 1))),
Вычисляя определитель N, получим условия 1) и 2).
Теперь докажем условие 3). Для этого вычислим определитель концевого символа А.П. Солдатова (3.14).
Имеем:
x_j (ξ)=E-e^(2iθ_j ξ)/(16a_- a ̅_+ )×(■(〖(m ̅_2-n_2)〗_-@〖(m ̅_1-n_1)〗_-@■(〖i(a ̅_2-b_2)〗_-@〖i(a ̅_1-b_1)〗_- ))■(〖i(m ̅_2+n_2)〗_-@〖i(m ̅_1+n ̅_1)〗_-@■(〖-i(a ̅_2+b_2)〗_-@-〖(a ̅_1+b_1)〗_- ))■(2m_-@0@■(〖-2im〗_-@0))■(0@2m_-@■(0@〖-2im〗_- )))•
•(■(-i(m_1+n ̅_1)@-〖(m_1-n ̅_1)〗_-@■(i@0))■(〖i(m_2+n ̅_2)〗_-@〖(m_2-n ̅_2)〗_-@■(0@i))■(〖(m_1+n ̅_1)〗_-@〖-i(m_1-n ̅_1)〗_-@■(1@0))■(〖-(m_2+n ̅_2)〗_-@〖i(m_2-n ̅_2)〗_-@■(0@1)))•
•(■(1-iξA@0@■(-ξA@0))■(0@1-iξA@■(0@-ξA))■(-ξA@0@■(1+iξA@0))■(0@-ξA@■(0@1+iξA)))×
×(■(〖(m_2-n ̅_2)〗_+@〖(m_1-n ̅_1)〗_+@■(〖-i(m_2-n ̅_2)〗_+@-〖i(m_1-n ̅_1)〗_+ ))■(〖-i(m_2+n ̅_2)〗_+@-〖i(m_1+n ̅_1)〗_+@■(〖-i(m_2+n ̅_2)〗_+@-〖(m_1+n ̅_1)〗_+ ))■(2m ̅_+@0@■(2im ̅_+@0))■(0@2m ̅_+@■(0@2im ̅_+ )))×
×(■(〖i(m ̅_1+n_1)〗_+@-〖(m ̅_1-n_1)〗_+@■(-i@0))■(〖-i(m ̅_2+n_2)〗_+@〖(m ̅_2-n_2)〗_+@■(0@-i))■(〖(m ̅_1+n_1)〗_+@〖i(m ̅_1-n_1)〗_+@■(1@0))■(〖-(m ̅_2+n_2)〗_+@-〖i(m ̅_2-n_2)〗_+@■(0@1)))•
•(■(1-iξA ̅@0@■(ξA ̅@0))■(0@1-iξA ̅@■(0@ξA ̅ ))■(ξA ̅@0@■(1+iξA ̅@0))■(0@ξA ̅@■(0@1+iξA ̅ )))=E-e^(2iθ_j ξ)/(16a_- a ̅_+ )×
×(■(〖(x ̅_11)〗_-@〖(x ̅_21)〗_-@■(〖(x ̅_31)〗_-@〖i(x ̅_21)〗_- ))■(〖(x ̅_12)〗_-@〖(x ̅_22)〗_-@■(〖i(x ̅_12)〗_-@〖(x ̅_24)〗_- ))■(〖(x ̅_13)〗_-@〖i(x ̅_21)〗_-@■(〖(x ̅_33)〗_-@〖-(x ̅_21)〗_- ))■(〖(x ̅_12)〗_-@〖(x ̅_24)〗_-@■(〖-(x ̅_12)〗_-@〖(x ̅_44)〗_- )))•
•(■(1-iξA@0@■(-ξA@0))■(0@1-iξA@■(0@-ξA))■(-ξA@0@■(1+iξA@0))■(0@-ξA@■(0@1+iξA)))×
×(■(〖(x_11)〗_+@〖(x_21)〗_+@■(〖(x_31)〗_+@〖-i(x_21)〗_+ ))■(〖(x_12)〗_+@〖(x_22)〗_+@■(〖-i(x_12)〗_+@〖(x_24)〗_+ ))■(〖(x_13)〗_+@〖-i(x_21)〗_+@■(〖(x_33)〗_+@-〖(x_21)〗_+ ))■(〖-i(x_12)〗_+@〖(x_24)〗_+@■(〖-(x_12)〗_+@〖(x_44)〗_+ )))•
•(■(1-iξA ̅@0@■(ξA ̅@0))■(0@1-iξA ̅@■(0@ξA ̅ ))■(ξA ̅@0@■(1+iξA ̅@0))■(0@ξA ̅@■(0@1+iξA ̅ ))),

где
x_11=2i(m ̅_1 m_2-n ̅_2 n_1 )-2im,
x_12=2i(|m_2 |^2-|n_2 |^2 ),
x_13=-ix_11,
x_14=ix_12,
x_21=4i(|m_1 |^2-|n_1 |^2 ),
x_22=-2i(m ̅_2 n_1-n ̅_1 n_2 )-2im ̅,
x_23=-ix_21,
x_24=-2(m ̅_2 m_1-n ̅_1 n_2 )+2m ̅,
x_31=2(m ̅_1 m_2-n ̅_2 n_1 )+2m ̅,
x_32=-ix_12,
x_33=-2i(m ̅_1 m_2-n ̅_2 n_1 )+2i(n ̅_2 m_1-m ̅_1 n_2 ),
x_34=-ic_12,
x_41=-ic_21,
x_42=-2(m ̅_2 m_1-n ̅_1 n_2 )+2m ̅, x_43=-c_21,
x_44=2i(m ̅_2 m_1-n ̅_1 n_2 )+2im ̅.
Умножим концевой символ слева на матрицу C(τ_j-0), а справа на (v_j (ξ) ) ̅. Тогда имеем
C(τ_j-0)∙X_j (ξ)∙(v_j (ξ) ) ̅=C(τ_j-0)∙(v_j (ξ) ) ̅-v_j (ξ)∙C(τ_j+0).
Обозначим e^(2iθ_j ξ)=λ и вычислим определитель матрицы
X=C(τ_j-0)∙X_j (ξ)∙(v_j (ξ) ) ̅, где X=(x_ij )–матрица четвертого порядка, элементы которой даются равенствами
x_11=с_11^--λс_11^++λξA(iс_11^++с_31^+ )+ξA ̅(iс_11^--с_13^- ), x_12=с_12^--λс_12^+, x_13=с_13^--λс_13^++λξA(iс_13^++с_33^+ )++ξA ̅(с_11^-+iс_13^- ),
x_14=-iс_12^-+iλс_12^+,
x_21=с_21^--λс_21^+,
x_22=с_22^--λс_22^+++λξA(iс_22^++с_42^+ )-ξA ̅(iс_22^--с_24^- ),
x_23=-iс_21^-+iλс_21^+,
x_24=с_24^--λс_24^-+λξA(iс_24^++с_44^+ )+ξA ̅(с_22^-+с_24^- ),
x_31=с_31^--λс_31^++λξA(с_11^+-iс_31^+ )--ξA ̅(〖iс〗_31^--с_33^- ),
x_32=-iс_12^-+iλс_12^+,
x_33=с_33^--λс_33^++λξA(с_13^+-iс_33^+ )++ξA ̅(〖iс〗_31^-+iс_33^- ),
x_34=-iс_21^-+iλс_21^+,
x_41=-iс_21^-+iλс_21^+,
x_42=с_24^---λс_24^++λξA(с_22^+-iс_42^+ )-ξA ̅(iс_24^--с_44^- ),
x_43=-с_21^-+λс_21^+,
x_44=с_44^---λс_44^++λξA(с_24^+-iс_44^+ )+ξA ̅(с_24^-+iс_44^- ).
Определитель матрицы X=(x_ij ) вычислим следующим образом.
Умножим первые две строки на i и прибавим к последним (первую к третьей, вторую к четвертой).
В результате получим определитель у которого второй и четвертый элементы третьей строки, первый и третий элементы четвертой строки станут нулями. Для вычисления последнего умножим первые 2 столбца определителя на (-i) и прибавим к последним (первый к третьему, второй к четвертому). В результате получим определитель у которого все элементы третьей и четвертой строк, кроме первого и второго соответственно станут нулями. Таким образом получим:
det⁡X=det⁡(C(τ_j-0)∙X_j (ξ)∙(v_j (ξ) ) ̅ )=
=[(ic_11+c_31 )_--λ(ic_22+c_24 )_+ ]∙[(ic_22+c_24 )_--λ(ic_22+c_24 )_+ ]××{[(-ic_11+c_13 )_--λ(-ic_11+c_13 )_+ ]∙[(-ic_22+c_24 )_--λ(-ic_22+c_24 )_+ ]++с_21^--λс_21^+ }.
Подставляя в последнее равенство λ и с_ij, получим условие 3). Теперь вычислим каждое из слагаемых в формуле для индекса.
Имеем:
〖 Ind〗_(Г ) N ̅^(-1) N=(2πi)^(-1) ∑▒〖((-1)^1 Ln det⁡〖N ̅^(-1) 〗 N(τ_1 )+(-1)^2 Ln det⁡〖N ̅^(-1) 〗 N(τ_2 )+⋯+(-1)^(l-1) Ln det⁡〖N ̅^(-1) 〗 N(τ_(l-1) )+(-1)^l Ln det⁡〖N ̅^(-1) 〗 N(τ_l )+⋯+ 〗 (-1)^(2s-1) Ln det⁡〖N ̅^(-1) 〗 N(τ_(2s-1) )+ (-1)^2s Ln det⁡〖N ̅^(-1) 〗 N(τ_2s )) = =〖(2πi)〗^(-1) ∑_(l=1)^2S▒〖(-1)^1 Ln a ̅/a (τ_1 ) 〗+(-1)^2 Ln a ̅/a (τ_2 )+⋯+ (-1)^(2s-1) Ln a ̅/a (τ_(2s-1) )+(-1)^2s Ln a ̅/a (τ_2s ) =∑_(l=1)^S▒(Ψ_2^r-Ψ_1^k)/π+(Ψ_4^r-Ψ_3^k)/π+⋯+(Ψ_(2s-2)^r-Ψ_(2s-3)^k)/π+(Ψ_2s^r-Ψ_(2s-1)^k)/π+ S. (3.15)

Вычислим второе слагаемое.
Пусть ξ=-ε+it, t∈(-∞,+∞)
〖Ind〗_(-ε) X_j (ξ) Y_j^(-1) (ξ)=〖Ind〗_(-ε) ├ det⁡〖X_j (-ε+it)〗/(Y_j (-ε+it) )┤| ■(+∞@@-∞)=
=〖(2πi)〗^(-1) Ln├ (ae^(-4iθ_j ε)∙e^(-4θ_j t)+be^(-2iθ_j ε)∙e^(-2θt)+1)/〖(e^(-2iθ_j ε)∙e^(-2θ_j t)-1)〗^2 ┤| ■(+∞@@-∞).
Обозначим через z=e^(-2θ_j t), тогда имеем
〖Ind〗_(-ε) X_j (ξ) Y_j^(-1) (ξ)=-(2πi)^(-1) Ln├ (ae^(-4iθε)∙z^2+be^(-2iθε)∙z+1)/(e^(-2iθ_j ε)∙z-1)^2 ┤| ■(∞@@0)=
=-(2πi)^(-1) Ln├ a(e^(-2iθε)∙z-z_1 )(e^(-2iθε)∙z-z_2 )/(e^(-2iθ_j ε)∙z-1)^2 ┤| ■(∞@@0)=
=-(2πi)^(-1) ∫_0^∞▒dLn a(e^(-2iθε)∙z-z_1 )/(e^(-2iθ_j ε)∙z-1)-
-(2πi)^(-1) ∫_0^∞▒dLn ((e^(-2iθε)∙z-z_2 ))/(e^(-2iθ_j ε)∙z-1)=
=-(2πi)^(-1) ∫_0^∞▒[(z_1-1)/(z-e^2iθε )(e^(-2iθε)∙z-z_1 ) +(z_2-1)/(z-e^2iθε )(e^(-2iθε)∙z-z_2 ) ]dz=
=(Res)┬(z=z_1∙e^2iθε ) (z_1-1)/(z-e^2iθε )(e^(-2iθε)∙z-z_1 ) Ln z+
+(Res)┬(z=e^2iθε )⁡〖(z_1-1)/(z-e^2iθε )(e^(-2iθε)∙z-z_1 ) 〗 Ln z+
+(Res)┬(z=e^2iθε ) (z_2-1)/(z-e^2iθε )(e^(-2iθε)∙z-z_2 ) ×Ln z+
+(Res)┬(z=e^2iθε ) (z_1-1)/(z-e^2iθε )(e^(-2iθε)∙z-z_1 ) Ln z=
=lim┬(z→e^2iθε )⁡〖(z_1-1)/(e^(-2iθε)∙z-z_1 )〗 Ln z+
+lim┬(z→z_1∙e^2iθε∙z)⁡〖(z_1-1)/(z-e^2iθε )〗 Ln z+
+lim┬(z→e^2iθε )⁡〖(z_2-1)/(e^(-2iθε)∙z-z_2 )〗 Ln z+lim┬(z→z_2∙e^2iθε∙z)⁡〖(z_2-1)/(z-e^2iθε )〗 Ln z=
=(2πi)^(-1) Ln z_1 z_2=
=(2πi)^(-1) Ln (b ̅_2 a_1-a_2 b ̅_1)/(b_2 a ̅_1-a ̅_2 b_1 ) (3.16)
(Res)┬(z=z_3∙e^2iθε ) (z_3-1)/(z-e^2iθε )(e^(-2iθε)∙z-z_3 ) Ln z+
+(Res)┬(z=〖ze〗^2iθε )⁡〖(z_1-1)/(z-e^2iθε )(e^(-2iθε)∙z-z_3 ) 〗 Ln z+
+(Res)┬(z=e^2iθε ) (z_4-1)/(z-e^2iθε )(e^(-2iθε)∙z-z_4 ) ×Ln z+
+(Res)┬(z=〖ze〗^2iθε ) (z_4-1)/(z-e^2iθε )(e^(-2iθε)∙z-z_4 ) Ln z=
=lim┬(z→e^2iθε )⁡〖(z_1-1)/(e^(-2iθε)∙z-z_1 )〗 Ln z+
+lim┬(z→z_1∙e^2iθε∙z)⁡〖(z_1-1)/(z-e^2iθε )〗 Ln z+
+lim┬(z→e^2iθε )⁡〖(z_2-1)/(e^(-2iθε)∙z-z_2 )〗 Ln z+lim┬(z→z_2∙e^2iθε∙z)⁡〖(z_2-1)/(z-e^2iθε )〗 Ln z=
=(2πi)^(-1) Ln z_1 z_2=
=(2πi)^(-1) Ln (b ̅_2 a_1-a_2 b ̅_1)/(b_2 a ̅_1-a ̅_2 b_1 ) Подставляя (3.15) и (3.16) в (3.13), получим (3.4).

§4. Вторая задача Векуа. В работе рассматривается следующая задача:
Aυ≡ ∂_¯z υ_j= f∈X_((β-1))^1 (Q), (4.1)
〖B_1 υ≡a〗_1 ∂_z υ_1+b_1 ∂_¯z ¯υ_1- a_2 ∂_z υ_2-b_2 ∂_¯z ¯υ_2=φ∈ Y_((β-1))^1 (L_1\ J), (4.2)
B_2 υ≡c_1 υ_1+d_1 ¯υ_1-c_2 υ_2-d_2 ¯υ_2 υ=ψ∈Y_((β))^2 (L_2\ J), (4.3)
υ∈X_((β))^2 (Q), где a_1,b_1,…,c_2,d_2― скалярные функции, ∂_z= ∂/(∂x_1 )-i ∂/(∂x_2 ), Q‒ (m+1) связная область плоскости с кусочно-гладкой границей, состоящей из гладких (классаС^∞) дуг Г1, …, Г2S (связные части гомеоморфны окружности), L1 = ∪_(j=1)^s Г_(2j-1), L2 = ⋃_(j=1)^s▒Г_2j , 2s = |J| ‒ число угловых точек.
Пространства X_((γ))^r (Q)=H_(μ,(γ))^r (Q), Y_((β))^r (L_j\ J)=H_(μ,(β))^(n+1-1/p) (L_j\ J), если задача рассматривается в весовых пространствах Гельдера и X_((γ))^r (Q)=W_(p,(γ))^r (Q), Y_((β))^r (L_j\ J)=W_(p,(β))^(n+1-1/p) (L_j\ J)

в случае весовых пространств Соболева.

Представим краевые условия в следующем виде:

Re(B_1 υ)=Re [(■(-i(a_1+b ̅_1 )&-i(a_2+b ̅_2 )@-(a_1-b ̅_1 )&(a_2+b ̅_2 ) )) ∂/(∂x_2 ) (υ_1¦υ_2 )++(■(a_1+b ̅_1&-(a_2+b ̅_2 )@-i(a_1-b ̅_1 )&i(a_2-b ̅_2 ) )) ∂/(∂x_2 ) (υ_1¦υ_2 )]=(φ_1¦φ_2 ) , (4.4)

Re(B_2 υ)=Re[(■(c_1+d ̅_1&-(c_2+d ̅_2 )@-i(c_1-d ̅_1 )&i(c_2-d ̅_2 ) ))(υ_1¦υ_2 )=(ψ_1¦ψ_2 ), (4.5)
Re(Aυ)=Re [(■(-(a_1+b ̅_1 )&-(a_2+b ̅_2 )@-(a_1-b ̅_1 )&(a_2+b ̅_2 ) )) ∂/(∂x_2 ) (υ_1¦υ_2 )++(■(a_1+b ̅_1&-(a_2+b ̅_2 )@-i(a_1-b ̅_1 )&i(a_2-b ̅_2 ) )) ∂/(∂x_2 ) (υ_1¦υ_2 )]=(φ_1¦φ_2 ) , (4.6)

Re(Bυ)=Re[(■(c_1+d ̅_1&-(c_2+d ̅_2 )@-i(c_1-d ̅_1 )&i(c_2-d ̅_2 ) ))(υ_1¦υ_2 )=(ψ_1¦ψ_2 ), (4.7)

где φ_1+〖iφ〗_2=φ, ψ_1+iψ_2=ψ. При получении (4.4) и (4.5) мы пользовались эквивалентностью равенства A+B ̅=θ двум равенствам
Re(A+B ̅)=θ_1, Re(-iA+iB ̅)=θ_2, θ=θ_1 〖+ iθ〗_2.
Задаче (4.1), (4.4), (4.5) поставим в соответствие оператор

A∶ X_((β))^2 (Q)→ X_((β-1))^(1) (Q)×Y_((β-1))^1 (L_1\ J)×Y_((β))^2 (L_2\ J),

определенной формулой

Av=├ (Av┤|_Q, Re( B_1 υ├ )┤|_(L_1\ J), Re(B_2 υ├ )┤|_(L_2\ J)).

Задачу (4.1), (4.4), (4.5) будем называть нетеровой, если таковым является оператор A и индекс этого оператора назовем индексом задачи. Задача (4.1)-(4.3) и задача (4.1),(4.4),(4.5) эквивалентны в смысле нетеровости и в случае нетеровости имеют равные индексы.
Имеет место
Теорема. Для нетеровости задачи (4.1) ‒ (4.3) необходимо и достаточно выполнения условий:
a(x)≡(b_2 ¯a_1-b_1 ¯a_2 )(x)≠0 на L_1\ J,
2)b(x)≡(d_1 ¯c_2-d_2 ¯c_1 )(x)≠0 на L_2\ J.
a(τ±0) ≠ 0, τ∈ L1∩J, b(τ±0) ≠ 0, τ∈ L2∩J.
3) На прямой Reξ= β_(τ_(2j-1) )-1 нет нулей функции
det⁡〖X_(2j-1) 〗 (ζ)=(1-〖 e〗^(2iθ_(2j-1) ξ))2(e^(4iθ_(2j-1) ζ) A_1+e^(2iθ_(2j-1) ζ) B_1+1).
4) На прямой Reξ=β_(τ_2j )- 1 нет нулей функции
det⁡〖X_2j 〗 (ζ)=(1-〖 e〗^(2iθ_2j ζ))2(e^(4iθ_2j ζ) A_2+e^(2iθ_2j ζ) B_2+1), где A_i,B_i ‒ некоторые функции зависящие от ai, bi, ci, di, i= 1,2. Пусть ε- достаточно малое фиксированное число, такое что в “полосе” 0<|Reζ|<ε нет нулей функции 3) и 4) (такое ε существует). Тогда индекс задачи дается равенством 〖Ind〗_(-ε) A=s_1+s_2-6(m-1), (4.8) где s_1=2 [〖Ind〗_(Г ) a],s_2=2 [〖Ind〗_(Г ) bx ̇ ], где m – число внутренних компонент границы ([а] – целая часть числа а). В случае произвольного β_τ, τ∈J (для которого имеет место 1) ‒ 4)), индекс задачи дается равенством
〖Ind〗_(β_τ ) A=〖Ind〗_(-ε) A±∑_(τ ∈ J)▒〖[〖(β〗_(τ )-1) θ_τ/π]+1〗. (4.9)
Знак “+” соответствует случаю, когда 〖1-ε<β〗_(τ ), a“-” — 〖1-ε>β〗_(τ ).

Доказательство:
Задачу (4.1),(4.4),(4.5) изучим сведением к задаче Пуанкаре ( см. [1]).
Пусть
N :Y_((β-1))^1 (L_1\ J)×Y_((β))^2 (L_2\ J)→Y_((β-1))^1 (L_1\ J)×Y_((β-1))^1 (L_2\ J) ‒ оператор действующий на сужение по формуле ├ Nv┤|_(∂Q\ J)= =(├ εv┤|_(L_1\ J),├ dv/dS┤|_(L_2\ J) ), где d/dS ‒ дифференцирование по дуге при естественной параметризации границы, ε ‒ тождественный оператор.
Пусть ∂ ̅ ‒ оператор следующей задачи Римана-Гильберта для системы Коши-Римана:
{█(∂_z u=f∈X_((β-1))^n (Q)@Re u=φ∈Y_((β))^(n+1) (∂Q\ J),u∈X_((β-1))^n (Q))┤.
Как известно, см. например: [2], оператор ∂ ̅ нетеровый и его индекс дается формулой Ind ∂ ̅= -k∑_(τ ∈ J)▒〖([β_(τ ) θ_τ/π]+1)-k(m-1)〗,
где k‒ число уравнений системы, β_(τ )‒ фиксированное семейство действительных чисел.
Обозначим ε_v ∶V→V ‒ тождественный оператор, где V‒ любое фиксированное банахово пространство функций на ∂Q\ J.
Тогда оператор (см. [3])
K_V=(∂ ̅,ε_v ) ∶X_((β))^(n+1) (Q)×V→X_((β-1))^n (∂Q\ J)V
нетеровый тогда и только тогда, когда β_(τ )≠πk/θ_τ +1, где k‒ любое целое число, θ_τ ‒ раствор криволинейного сектора в точке τ∈J.
Изучим теперь оператор K_V NA, очевидно он является оператором следующей краевой задачи ∂_z Av=∂_¯z^2 v_j=f_j, (4.10)
■(Re(Av)=φ_0@Re(B_1 υ)=φ_1@Re(d/dS(B_2 υ))=ψ) (4.11)
Системе (8) соответствует характеристический многочлен 〖(-λ+i)〗^2, поэтому к нашей задаче можно применить следствие теоремы 2.1. § 2 [3].
Согласно этому же следствию задача (1), (2) нетерова тогда и только тогда, когда выполнены (2.5)‒(2.7) из [3]. При выполнении этих условий индекс задачи дается равенствам (2.8)( см. там же), где N_1=G ̅_1 и N_2=G ̅_2‒ матрицы, определяемые по коэффициентам краевых условий и системы, которые в нашем случае имеют вид:
G_1=(█(■(-i(a_1+b ̅_1 )&i(a_2+b ̅_2 )&a_1+b ̅_1@-(a_1-b ̅_1 )&a_2-b ̅_2&-(a_1-b ̅_1 )@i&0&1)■(-(a_2-b ̅_2 )@i(a_2-b ̅_2 )@0)@■( 0 &i)■(0 & 1))),

G_2=(█(■(-x_2 (c_1+d ̅_1 )&-x_2 (c_2+d ̅_2 )&〖x_1 (c〗_1+d ̅_2)@-ix_2 (c_1-d ̅_1 )&ix_2 (a_2-b ̅_2 )&-ix_1 (c_1-d ̅_1 )@i&0&1)■(-x_1 (c_2+d ̅_2 )@ix_1 (c_2-d ̅_2 )@0)@■( 0 &i)■(0 & 1)))
G_1^1=(█(■(i(a_1+b ̅_1 )&-i(a_2+b ̅_2 )&a_1+b ̅_1@-(a_1-b ̅_1 )&a_2-b ̅_2&-(a_1-b ̅_1 )@-i&0&1)■(-(a_2-b ̅_2 )@-i(a_2-b ̅_2 )@0)@■( 0 &-i) ■(0 & 1))),

G_2^1=(█(■(-x_2 (c_1+d ̅_1 )&-x_2 (c_2+d ̅_2 )&〖x_1 (c〗_1+d ̅_2)@ix_2 (c_1-d ̅_1 )&ix_2 (a_2-b ̅_2)&ix_1 (c_1-d ̅_1 )@-i&0&1)■(-x_1 (c_2+d ̅_2 )@-ix_1 (c_2-d ̅_2 )@0)@■( 0 &i)■( 0 & 1)))
Вычисляя определители последних, получим условия 1) и 2). Для доказательства условий 3) и 4) рассмотрим концевой символ Солдатова (см. [3])
X_j (ζ)=E-C^(-1) (τ_j-0) v_j (ζ) C(τ_j+0) v_j^(-1) (ζ), (9)
где E-единичная матрица того же порядка, что и C,C^(-1) (τ_j-0)= N^(-1) (τ_j-0) N ̅(τ_j-0) и C(τ_j+0) = N ̅^(-1) (τ_j+0)N(τ_j+0)- предельные значения матриц на "выходящей из τ_j дуге» и на «входящей» соответственно ( «Входящая» и «Выходящая» в смысле положительного обхода границы области, оставляющего область слева ),
N= (N_1⋮N ̅_2), v_j (ζ)= {(Imqk- ɅReqk) (Imqr- ɅReqr)-1}, где qkи qr– единичные векторы касательных к боковым сторонам сектора Q_τ в точке τ_j. Вычисляя определители от концевых символов А.П.Солдатова, получим условия 3) и 4). Далее вычисляя каждое из слагаемых в формуле для индекса (4.6) главы 2 (см.[3]), получим индексы (4.6) и (4.7).

Заключение.

В данной работе мы рассматривали задачу Римана-Гильберта-Пуанкаре в области плоскости с кусочно- гладкой границей, а также некоторые геометрические приложения этой зазачи. Они появляются при исследовании вопросов жесткости поверхностей и как нерешенные указаны в монографии И.Н.Векуа «Обобщенные аналитические функции». Нами получены критерии нетеровости краевой задачи и вычислен индекс.
Отметим, что в случае многосвязной области с гладкой границей их решил М.М. Сиражудинов. Здесь мы обобщаем эти результаты на кусочно-гладкий случай. Краевые задачи рассматриваются в весовых пространствах Соболева и Гельдера. Такие пространства функций правильно описывают особенности решения и его производных в окрестности угловых точек границы.

Литература
Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М. : Наука, 1988.
Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М. : Наука 1963.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Наука 1988.
Hilbert D. Grundzu ̈ge der Integralgleichungen. Leipzig – Berlin., 1924
Жура Н. А. Нелокальная краевая задача для стационарной системы Стокса в многосвязной области. //ДУ.Т. 27, 1. 1991. С.51-59.
Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с угловыми и коническими точками. // Тр. Моск. мат. Общества. Т. 16. 1967. С. 202-292.
Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М. : Наука, 1966.
Лопатинский Я. Б. Теория общих граничных задач. Киев. : Наука думка, 1984.
Мазья В. Г., Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразия с особенностями. // ДАН. Т. 210, №3, 1973. С. 529-532.
Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М. : Наука, 1968.
Назаров С. А. , Пламеневский Б. А Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М. : Наука 1991.
Радон И. О. О краевых задачах для логарифмического потенциала. // УМН. Т. 1, вып. 3-4. 1946. С. 96-124.
Сиражудинов М. М. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости. // Изв. РАН, сер.матем. Т. 61, №5. 1997.
Сиражудинов М. М. О задаче Римана-Гильберта для эллиптических систем первого порядка в многосвязной области // Матем. сб. Т. 184, №11. 1993. С. 39-62.
Сиражудинов М. М. , Магомедов А. Г. , Магомедов В. Г. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости. 2. // Изв. РАН, сер.матем. №2. 2000.
Сиражудинов М. М. , Умалатов С. Д. О нетеровости одной задачи И.Н. Векуа. // Тезисы международной научной конференции, посвященной 275 – летию РАН. Махачкала, 1999.
Сиражудинов М. М. , Умалатов С. Д. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре. – Махачкала. 1998, − 11 с. ,Деп. в ВИНИТИ, 10. 02. 98, №972- В98.
Умалатов С. Д. О нетеровости одной краевой задачи, возникающей при исследовании вопросов жесткости поверхностей. – Вестник ДГУ, естеств. тех. науки, вып. 1, Махачкала. 2000.- С. 5.
Умалатов С. Д. О нетеровости одной краевой задачи 1-го порядка // Тезисы международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН. Растов-на-Дону, 1999.
Сиражудинов М. М., Умалатов С. Д. Краевые задачи для системы Навье – Стокса – Махачкала. 1998, - 26 с. ,Деп. в ВИНИТИ, 30.01.98, №236-В96.
Риман Б. Основы общей теории функций. (В сочетаниях). М. : ГТИ, 1948.
Боярский Б. Теория обобщенного аналитического сектора // Ann. Polon. Mathem. T. 10. 1966. C. 41-87
Виноградов В. С. Граничная задача для эллиптической системы первого порядка на плоскасти // Дифф. урав. Т. 7, №8. 1971. С. 1440-1448.
Виноградов В. С. Об одном месте решения краевой задачи для эллиптической системы первого порядка на плоскасти // ДАН СССР. Т. 201. №4. 1976. С. 767-770
Виноградов В. С. О граничных задачах для эллиптической системы на плоскасти с непрерывными коэффициентами // ДАН СССР. Т. 227, №4 1976. С. 777-780.
Вольперт А. И. Нормальная разрешимость граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскасти // Теор. и прикл. матем. Вып. 1. 1958. С. 28-57.
Вольперт А. И. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскасти // Тр. ММО. Т. 10. 1961. С 41-87
Солдатов А. П. Общая краевая задача (k-1) – порядка для эллиптических систем // ДАН СССР. Т. 311, №1. 1990. С. 39-43.
Солдатов А. П. Общая краевая задача для эллиптических систем // ДАН СССР. Т.331, №3. 1990. С. 539-543.
Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М. :Высш. шк, 1991.
Солдатов А. П. Метод теории функций в краевых задачах на плоскасти. 1. Гладкий случай // Изв. АН. Сер.мат. Т. 55, №1. 1991. С. 1070-1110.
Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем // Метем.сб. Т. 68, №3. 1965. С. 373-416.