Скачать

Симферополь 2020 г.

РЕФЕРАТ

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя / Курсовая работа: 20 стр., 11 рис., 6 библ.

Объект исследования: ________________________________________

Предметом исследования является численное решение систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя

Цель работы – доказать что, решение систем уравнений методом Зейделя является менее трудоемким и быстрым процессом.

Задачи исследования: описание, приведение примера и решение системы линейного алгебраического уравнения методом Зейделя.

Ключевые слова: УРАВНЕНИЕ, СИСТЕМА, СЛАУ, МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ, МАТРИЦА, СТРОКА, МОДУЛЬ

Содержание

РЕФЕРАТ.. 2

Содержание.. 3

Введение.. 4

Метод ЗейделЯ.. 5

Описание метода. 7

Сходимость метода. 4

Другая форма метода Зейделя. 9

Практическая часть.. 11

Решение СЛАУ методом Зейделя в MathCad.. 11

Заключение.. 14

Список используемой литературы... 16

Введение

Способы решения линейных систем уравнений разделяют на 2 группы.

Первые, точные методы представляющие собой конечные алгорифмы для вычисления корней системы (таковыми например, являются правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и др.).

Вторые, итерационные методы позволяющие получить корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (к числу таковых относят, метод итераций, метод Зейделя, метод релаксации).

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются округленными, причем оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна.

При использовании итерационных процессов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Заметим, что эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора приближения и быстроты итерационного процесса.

Сейчас разберем несколько определений которые будем использовать в этой работе.

Система линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида представлена на рисунке 1.1

Рис. 1.1 - Система линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система)

Здесь — неизвестные, которые надо определить. — коэффициенты системы — и — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов () системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система на рис. 1.1 называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (), иначе — неоднородной.

Система на рис. 1.1 называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы на рис. 1.1 — совокупность n чисел , таких что подстановка каждого c*i вместо x*i в линейную систему обращает все ее уравнения в тождества.

Система на рис. 1.1 называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система линейного вида может иметь одно или более решений.

Решения и совместной системы линейного вида называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

= соответственно

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

 Заключение

Линейные системы имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним может быть приведено приближенное решение широкого круга задач. Теория этих систем сравнительно проста и доведена во многих частях до совершенства. Что же касается практики решения систем, то наши возможности еще сильно отстают от потребностей. Здесь многое зависит от порядка системы, т. е. от числа уравнений и неизвестных в ней. С увеличением порядка число операций, нужных для решения системы, быстро растет.

Число операций, требующихся для решения, зависит не только от порядка системы, но также от выбора метода вычислений. Поясним это примером. Предположим, что дана система п уравнений с п неизвестными и с оп­ределителем, отличным от нуля. По теореме Крамера система имеет единственное решение. В этой теореме указывается явное выражение для значений неизвестных в виде отношения двух определителей порядка я, при этом число различных определителей в отношенияхравно .

Пусть для нахождения решения мы хотим воспользо­ваться теоремой Крамера, при этом детерминанты будем вычислять по их обычному определению, как сумму со знаками произведений элементов по одному из каждой строки и каждого столбца. Легко можно под­считать, что для нахождения решения нужно будет приблизительно п^гп умножений и делений. Уже при п = 20 это число приблизительно равно 10²¹ и являете настолько большим, что становится ясной невозможность решать указанным путем на современных машинах систему даже двадцати уравнений.

Чтобы было возможным решение систем большого числа уравнений, необходимо изменить метод вычислений и сделать его менее трудоемким. Такая задача привлекала внимание очень большого числа лиц, и было указано много методов решения линейных систем, преследующих не только основную цель уменьшения числа, операций, но и другие цели. Эти методы строились как для систем общего вида с любыми коэффициентами, так и для систем специальных форм, например, получающихся при численном решении уравнений. Такими методами являются описанные выше метод простой итерации и его модификация метод Зейделя, позволяющие получать приближенное решение уравнения, затрачиваю при этом меньше числовых операций, чем при точных методах.