Динамика и устойчивость сооружений

Решение.

Проверка статической определимости.

W = 2Ш + Со - 3Д, где

W – кол-во лишних связей,

Д – кол-во дисков Д = 2,

Ш – кол-во простых шарниров Ш = 1,

Со – кол-во опорных стержней Со = 6.

W = 2·1 + 6 - 3·2 = 2 Система два раза статически неопределима.

Проверка кинематической определимости.

Система два раза кинематически неопределима.

Принимаем метод сил.

Вся масса системы сосредоточена в трех точках. Рассматриваемые точечные массы могут независимо перемещаться в двух направлениях (Wg1, Wg2) по вертикали и (Wg3) по горизонтали.

Перемещению (Wg5, Wg6) препятствуют опора 3, перемещению Wg4 – опора 4.

Таким образом, степень динамической свободы системы будет равна трем.

Система канонических уравнений метода сил:

Составим основную систему метода сил. Первое пронумеруем узлы. Второе удаляем опору узла 1. Удаленную связь заменяем: опорный стержень - неизвестной силой Х1, опорный момент – неизвестным моментом Х2.

Нагружаем основную систему единичной силой Х1 и строим эпюру моментов.

Нагружаем основную систему единичным моментом Х2 и строим эпюру моментов.

Определяем коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений метода сил.

Для нахождения грузовых коэффициентов строим три грузовые эпюры, от единичных инерционных нагрузок Ji=1, приложенных в направлении независимых перемещений рассматриваемых точечных масс.

Определяем значение грузового коэффициента для каждого из трех случаев загружения.

Первый случай загружения.

Второй случай загружения.

Третий случай загружения.

Подставляем определённые коэффициенты в каноническое уравнение метода сил.

Для первой схемы загружения:

Для второй схемы загружения:

Для третьей схемы загружения:

На основании определённых значений , выполняем построение эпюр MJ1, MJ2, МJ3 ординаты которых определяются сложением единичных эпюр, умноженных на с соответствующими грузовыми эпюрами (от единичных инерционных сил).

Для первой схемы загружения рис.7.

Для второй схемы загружения:

Для третьей схемы загружения:

Составим схему дискретизации.

С учетом схемы дискретизации составим направляющую матрицу.

Составляем матрицу податливости

Приводим к общему знаменателю.

Матрица податливости

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

- минимизация размеров матриц

Выделим пары строк, состоящих из одинаковых элементов и являющихся смежными.

Это строки 2 и 3, 4 и 5, 7 и 8,12 и 13. Вычеркнем строки 3, 5, 8, 13.

Также минимизируем матрицу податливости складывая парные элементы на пересечении соответственных строк и столбцов (2 и 3, 4 и 5, 7 и 8, 12 и 13.)

1 2 4 6 7 9 10 11 12 14

Вычисляем компоненты матрицы δik.

Вычисляем границы интервала оценки по формуле Бернштейна – Смирнова

, где

;

Т.к. все массы равны между собой и равны (m) перепишем формулу Бернштейна – Смирнова в таком виде:

- интервал, в котором находится минимальная частота собственных колебаний.

Определение частот собственных колебаний

Запишем вековое уравнение:

Упрощаем полученную запись уравнения частот, умножая все его члены на

и введем обозначение, получим:

Из оценки интервала нахождения минимальной частоты:

Левая граница λ.

Правая граница λ.

Длинна интервала для определения параметра λ составляет:

Принимаем шаг определения корня уравнения – 10,0.

λ	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
f	66,1408	-3717,5	-17351	-46834	-98167	-177350	-290383	-443265	-641998	-892580

Функция меняет знак в интервале (10;20). Произведем уточнение значения функции в этом интервале. Принимаем шаг – 1,0.

λ	15	12,5	11,25	10,625	10,9375	10,7812	10,7031	10,664	10,6836	10,6738
f	-969,47	-284,48	-73,236	4,704	-32,12	-13,171	-4,6834	0,3385	-1,8798	-0,7686
λ	10,6689	10,6664	10,6677	10,667
f	-0,2146	0,0677	-0,079	0

Принимаем значение корня уравнения частот равным .

Так как каждой эффективной степени свободы соответствует своя частота.

Рассмотрим интервал (0; 10)

Принимаем шаг определения корня уравнения – 1.

λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
f	8,8701	33,2255	67,0829	104,442	139,304	165,67	177,533	168,9	133,769	66,1408

Интервал в котором функция меняет знак не найден.

Рассмотрим интервал (0; 1)

Принимаем шаг определения корня уравнения – 0,1.

λ	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
f	0,0335	0,2592	0,688	1,3138	2,1307	3,1325	4,3134	5,6673	7,1882	8,8701

Интервал в котором функция меняет знак не найден.

Рассмотрим интервал (0; 0,1)

Принимаем шаг определения корня уравнения – 0,01.

λ	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,01
f	0,00881	0,0036	-0,0006	-0,0021	-0,0014	0,0013	0,0062	0,0132	0,0223	0,0335

Функция меняет знак в интервалах (0,02; 0,03) и (0,05; 0,06). Произведем уточнение значения функции в этих интервалах.

Интервал (0,05; 0,06)

λ	0,055	0,0575	0,0562
f	-0,0003	0,0005	0

Принимаем значение корня уравнения частот равным .

Интервал (0,02; 0,03)

λ	0,025	0,0275	0,0287	0,0281
f	0,001	0,0001	-0,0002	0

Принимаем значение корня уравнения частот равным .

Получили первые три частоты собственных колебаний.

Построим форму собственных колебаний для наименьшей частоты

Назначаем амплитудное перемещение третьей динамической свободы равной 1, остальные перемещения будут относительны ему.

Строим динамическую эпюру моментов для низшей частоты вынуждающей нагрузки.

Нагрузим раму амплитудными нагрузками и построим эпюру моментов от амплитудных нагрузок

Вычисляем элементы матрицы

Грузовые коэффициенты:

Отношение возмущающей частоты к минимальной , тогда:

Тогда значение сил инерции:

Эпюру амплитудных значений изгибающих моментов получим по формуле:

По матричной форме восстанавливаем традиционную эпюру.