Курсовик1
Корзина 0 0 руб.

Работаем круглосуточно

Доступные
способы
оплаты

Свыше
1 500+
товаров

Каталог товаров

Изображение геометрических фигур с помощью параллельного проектирования

В наличии
0 руб.

Скачать бесплатно Изображение геометрических фигур с помощью параллельного проектирования

После нажатия кнопки В Корзину нажмите корзину внизу экрана, в случае возникновения вопросов свяжитесь с администрацией заполнив форму

Будем благодарны если Вы поддержите проект

Скачать

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение................................................................................................. 2

1 Теоретические аспекты геометрических фигур с помощью параллельного проектирования............................................................................................... 4

1.1 Параллельное проектирование и его свойства........................... 4

1.2 Сущность геометрического проектирования............................. 6

1.3 Свойства параллельного проектирования.................................. 9

2 Изображения параллельного проектирования............................... 13

2.1 Изображение параллельного проектирования пространственных фигур.................................................................................................................... 13

2.2 Изображение геометрических фигур в графическом редакторе пакета MS Office.......................................................................................................... 21

3 Графическое изображение при ортогональном проектировании.. 25

3.1 Ортогональное проектирование. Метод Монжа...................... 25

3.2 Прямоугольные проекции точки............................................... 30

Заключение........................................................................................... 34

Список литературы.............................................................................. 36


Введение

Параллельное проектирование можно представить как частный случай центрального. Если точку зрения S удалять в бесконечность, то проектирующие прямые будут почти параллельными.

Поэтому параллельная проекция фигуры соответствует ее зрительному восприятию при рассмотрении из точки, достаточно удаленной от фигуры. Такая ситуация как раз и имеет обычно место при демонстрации чертежей на классной доске. Конечно, на чертеже, исполненном в параллельной проекции, больше искажений и условностей, но такой чертеж проще выполняется. Кроме того, у нас достаточно быстро формируется привычка нужным образом воспринимать и читать эти чертежи.

Чтобы быстро, правильно и наглядно строить чертежи к стереометрическим задачам, необходимо прежде всего:

– иметь опыт восприятия натуральных моделей и готовых проекционных чертежей изучаемых в школе геометрических тел и их наиболее типичных комбинаций;

– знать принятые правила выполнения изображений;

– иметь определенные навыки вычерчивания геометрических фигур с помощью чертежных инструментов и от руки;

– обладать собственным опытом выполнения изображений основных геометрических тел и их комбинаций.

Целью является изучение изображений геометрических фигур с помощью параллельного проектирования.

Поставленная цель предопределила решение следующих задач:

1 Теоретические аспекты геометрических фигур с помощью параллельного проектирования

2 Изображения параллельного проектирования

3 Графическое изображение при ортогональном проектировании

Предметом изучения выступила геометрия как наука.

Объектом изучения выступили построение изображения геометрических фигур.

1 Теоретические аспекты геометрических фигур с помощью параллельного проектирования

1.1 Параллельное проектирование и его свойства

Параллельное (цилиндрическое) проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования с несобственным центром. Здесь предмет рассматривают с бесконечно удаленной точки зрения.[4, c.22]

Чертежи геометрических образов в ортогональных проекциях широко применяются в начертательной геометрии. Они просты в построениях, дают возможность легко производить различные измерения геометрических образов и определять взаимоположение отдельных элементов.

Пусть в евклидовом пространстве дана некоторая плоскость По и вектор р + По. Пусть М - любая точка пространства, не принадлежащая плоскости По. Проведем прямую l || р через М, тогда l ∩ По = (Мо). Мо называют проекцией точки М на плоскость По. Если р По, то Мо – ортогональная проекция точки М на По. Если М € По, то Мо=М.

Множество Fо проекций точек данной фигуры F на плоскость По называется проекцией фигуры F на плоскость По.

Легко показать, что параллельное проецирование, как отображение множества точек пространства во множество точек плоскости По, обладает свойствами: [8, c.16]

1. Проекцией прямой l является прямая lо, если , если то проекцией прямой l является точка Lо, где (Lо) = l ∩ По.

2. Проекцией параллельных прямых являются параллельные прямые или совпавшие прямые, или две точки.

3. Коллинеарные точки А, В, С проектируются в коллинеарные точки Ао, Во, Со.

4. Неколлинеарные точки А, В, С, лежащие в плоскости П, не параллельной вектору р, проектируются в неколлинеарные точки Ао, Во, Со.

5. Сохраняется отношение «лежать между» для трех коллинеарных точек А, В, С, если

6. Сохраняется простое отношение трех точек А, В, С, если

7. Если отрезок (луч) АВ не параллелен вектору р, то проекцией АВ является отрезок (луч) АоВо

8. Проекцией пересекающихся прямых являются пересекающиеся прямые или совпадающие прямые.

9. Проекцией скрещивающихся прямых являются пересекающиеся прямые или параллельные прямые, или совокупность точки и прямой

10. Проекцией угла АВС является угол АоВоСо в общем случае ему неравный. (плоскость АВС || р ).

11. Если две фигуры F и Ф - плоские и плоскости в которых они лежат параллельны между собой, но не параллельные p, то отношение площадей проекций Fо и Фо равно отношению площадей самих фигур F и Ф

Если F - проектируемая фигура при параллельном проецировании, заданном вектором р на плоскость По, то F называют оригиналом, р , направлением проецирования, По - плоскостью проекции, Fо - проекция фигуры на плоскость По. Если некоторая фигура F плоскости П подобна фигуре Fо плоскости По, то F может быть принята за изображение фигуры, т.е. изображением фигуры может являться любая фигура F, подобная параллельной проекции Fо.

1.2 Сущность геометрического проектирования

Одно из основных геометрических понятий – отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка на плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности. Геометрический объект, рассматриваемый как точечное множество, отображается на плоскость по закону проектирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

Общий аппарат проектирования

В основу любого изображение положена операция проектирования, которая заключается в следующем (рис. 1).

Описание: 02

Рис. 1 Сущность операции проектирования[2, c.11]

Если через точки A, B и C, взятые на некоторой линии l, провести семейство проектирующих лучей S, то в результате пересечения этих лучей с проектирующей поверхностью Робразуются проекции этих точек A, B и C′.

Проекцией оригинала l на поверхности Ресть линия, соединяющая проекции точек A, B и C (рис.).

Свойства центрального проектирования

В пространстве выбирают произвольную точку S (рис. 2) в качестве центра проектирования и плоскость Пi, не проходящая через точку S, в качестве плоскости проекций (картинной плоскости). Чтобы спроектировать точку А на плоскость Пi, через центр проектирования S проводят луч SА до его пересечения с плоскостью Пi в точке Аi. Точку Аi принято называть центральной проекцией точки А, а луч SА – проектирующим лучом.

Описание: r1-1

Рис. 2 Центральное проектирование

Если проектирование осуществляется из какой-либо точки S, находящейся на конечном расстоянии от плоскости проекций, то образуется так называемое центральное (коническое) проектирование (рис. 4).

Описание: r1-2

Рис. 4 Центральное (коническое) проектирование

Недостатком центрального проектирования является трудоёмкость построения изображений и искажение формы предметов.

Если центр проекций S расположен в бесконечности, то все проектирующие лучи становятся параллельны между собой. Положение проектирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проектирования S (рис. 5). Такой способ проектирования называется параллельным, а полученное изображение называют параллельной проекцией объекта.

Описание: r1-3

Рис. 5 Параллельное проектирование [5, c.14]

Если направление проектирования S задано под косым углом к плоскости проекций П, то параллельная проекция называется косоугольной, а если под прямым углом – прямоугольной (ортогональной). Прямоугольное проектирование позволяет обеспечить простоту графических построений и сохранять на проекциях форму и размеры проектируемой фигуры.

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) и возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой;

2. Наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета;

3. Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты;

4. Простота – изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

1.3 Свойства параллельного проектирования

1. Проекция точки на плоскость есть точка (рис. 6).

A A1.

2. Проекция прямой в общем случае прямая: l l1, (рис. 6). Она вырождается в точку, если прямая параллельна направлению проектирования.

3. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии.

A l A1 l1

3.1. Для построения проекции прямой достаточно построить проекции двух принадлежащих ей точек:

A l B l A1 l1 Bl l1

4. Точка пересечения линий проектируется в точку пересечения их проекцій (рис. 6):

К = а b K1 = а1 b1

5. Отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций (рис. 6):

6. Если точка, принадлежащая отрезку прямой, делит его в некотором отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении (рис. 6):

Описание: 01

Рис. 6 Свойства параллельного проектирования[7, c.12]

7. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 7):

Описание: r1-4

Рис. 7 Проекции параллельных прямых

l n l1 n1

8. Если геометрическая фигура Ф принадлежит плоскости , параллельной плоскости проекций, то проекция этой фигуры на плоскость П1 конгруэнтна (согласована) самой фигуре (проектируется в натуральную величину НВ):

9. Проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекцій (рис. 8).

Описание: r1-5

Рис. 8 Проекция геометрической фигуры

Метрические характеристики геометрических фигур при параллельном проектировании в общем случае не сохраняются (происходит искажение линейных и угловых величин).

Свойства и особенности ортогонального проектирования

Ортогональному проектированию присущи все свойства параллельного и центрального проектирования, и, кроме того, для него справедлива теорема о проектировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проектируется в виде прямого угла.

При составлении чертежей используется ортогональное проектирование по методу Монжа – ортогональное проектирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций: П1 – горизонтальную и П2 – фронтальную. Плоскость П1 пересекает плоскость П2 по линии Ох, которую называют осью проекций.

Для создания чертежа плоскость П1 совмещают с плоскостью П2, вращая ее вокруг оси Ох. Чертеж, выполненный таким образом, часто называют эпюром Монжа. Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. При выполнении ортогональных проекций полагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Графическая модель объекта любой сложности рассматривается как геометрическое место точек, по взаимному расположению которых можно составить представление о форме отображаемого объекта. По расположению точек относительно системы координат судят о положении объекта в пространстве. Таким образом, рассмотрев процесс проектирования точки на плоскости П1 и П2, можно составить алгоритм выполнения чертежа объекта. При проектировании точка принимается за физический объект.

2 Изображения параллельного проектирования

2.1 Изображение параллельного проектирования пространственных фигур

В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование.

Пусть p - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая (рис. 9). Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью p называется параллельной проекцией точки A на плоскость p в направлении прямой l. Обозначим ее A'. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость p считается точка пересечения прямой l с плоскостью p. [11, c.77]

Рисунок 9.Плоскость при параллельном проектировании

Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A' на плоскость p. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость p в направлении прямой l.

Пусть Ф - некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость p образуют фигуру Ф', которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость p в направлении прямой l. Говорят также, что фигура Ф' получена из фигуры Ф параллельным проектированием.

Примеры параллельных проекций дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных лучей.

Рассмотрим свойства параллельного проектирования.

Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.

Доказательство. Ясно, что если прямая k параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой на плоскость p будет точка пересечения прямой l и плоскости p. Пусть k не параллельна и не совпадает с прямой l (рис. 10). Возьмем какую-нибудь точку A на прямой k и проведем через нее прямую a, параллельную l. Ее пересечение с плоскостью проектирования p даст точку A', являющуюся проекцией точки A. Через прямые a и k проведем плоскость a . Ее пересечением с плоскостью p будет искомая прямая k', являющаяся проекцией прямой k.

11

10


Свойство 2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.

Доказательство.Ясно, что если отрезок лежит на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, то его проекцией будет точка. Пусть точки A, B и C лежат на прямой k, не параллельной и не совпадающей с прямой l; k' – проекция прямой k на плоскость p в направлении прямой l; A', B', C' – проекции точек A, B и C соответственно; a, b, c – соответствующие прямые, проходящие через эти точки и параллельные прямой l (рис. 11). Тогда из теоремы Фалеса планиметрии следует равенство отношений AB :BC = A'B' : B'C'. В частности, если точка B - середина отрезка AC, то B' - середина отрезка A'C'.

Свойство 3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекции в направлении l могут быть или параллельными прямыми или одной прямой.

Доказательство. Пусть k1, k2 - параллельные прямые, не параллельные прямой l. Так же как и при доказательстве первого свойства, рассмотрим плоскости a1, a2, линии пересечения которых с плоскостью p дают проекции k1', k2' прямых k1, k2 соответственно (рис. 12). Если плоскости a1 и a2 совпадают, то проекции прямых k1 и k2 также совпадают. Если эти плоскости различны, то они параллельны между собой, по признаку параллельности плоскостей (прямая k1 параллельна прямой k2, прямая A1A1' параллельна прямой A2A2' ). В силу свойства параллельных плоскостей, линии пересечения этих плоскостей с плоскостью p параллельны. [4, c.22]

13

12


При изображении пространственных фигур на плоскости особенно важно уметь правильно изображать плоские фигуры, поскольку они входят в поверхность основных пространственных фигур. Например, плоские многоугольники являются гранями многогранников, круги - основаниями цилиндров и конусов.

Теорема. Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования p, то ее проекция F' на эту плоскость будет равна фигуре F.

Доказательство. Пусть A, B – точки фигуры F и A’, B’ – их параллельные проекции (рис. 13). Тогда ABB’A’ – параллелограмм. Поэтому параллельный перенос на вектор переводит точку B в B’. Поскольку точку B фигуры F можно выбирать произвольно, то этот параллельный перенос переводит фигуру F в фигуру F’. Значит фигуры F и F’ равны.

Если фигура F лежит в плоскости, не параллельной плоскости проектирования p, то ее проекция F', вообще говоря, не равна фигуре F.

Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией многоугольника является или многоугольник с тем же числом сторон или отрезок. Причем, если в многоугольнике какие-нибудь две стороны параллельны, то их проекции также будут параллельны. Однако, поскольку при параллельном проектировании длины отрезков и углы, вообще говоря, не сохраняются, то проекцией равностороннего треугольника может быть треугольник с разной длиной сторон, проекцией прямоугольного треугольника может быть не прямоугольный треугольник. Аналогично, хотя проекцией параллелограмма является параллелограмм, проекцией прямоугольника может не быть прямоугольник, проекцией ромба не обязательно является ромб, проекцией правильного многоугольника может быть неправильный многоугольник.

Простейшим многоугольником является треугольник. Параллельной проекцией треугольника, как следует из свойств параллельного проектирования, является треугольник или отрезок. При этом, если плоскость треугольника параллельна плоскости проектирования, то, как мы выяснили, его проекцией будет треугольник, равный исходному. Докажем, что в общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проекцией равностороннего треугольника.

Действительно, пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости p (рис. 13). Построим на одной из его сторон. например, AC равносторонний треугольник AB1C так, чтобы точка B1 не принадлежала плоскости p. Обозначим через l прямую, проходящую через точки B1 и B. Тогда ясно, что треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника AB1C на плоскость p в направлении прямой l.

15

14

13


Рассмотрим теперь параллельную проекцию правильного шестиугольника ABCDEF с центром в точке O (рис. 14). Выберем какой-нибудь треугольник, например, AOB. Его проекцией может быть треугольник A'O'B' на плоскости p (рис. 15), имеющий произвольную форму. Далее отложим O'D'=A'O' и O'E'=B'O'. Теперь из точек A' и D'проведем прямые,параллельные прямой B'O'; из точек B' и E' проведем прямые, параллельные прямой A'O'. Точки пересечения соответствующих прямых обозначим F' и C'. Шестиугольник A'B'C'D'E'F' и будет искомой проекцией правильного шестиугольника ABCDEF. [4, c.43]

Выясним, какая фигура является параллельной проекцией окружности. Пусть F - окружность в пространстве, F'- ее проекция на плоскость p в направлении прямой l. Если прямая l параллельна плоскости окружности или лежит в ней, то проекцией окружности является отрезок, равный диаметру окружности.

Рассмотрим случай, когда прямая l пересекает плоскость окружности (рис. 16). Пусть AB - диаметр окружности, параллельный плоскости p и A'B' его проекция на эту плоскость. Тогда AB=A'B'. Возьмем какой-нибудь другой диаметр CD и пусть C'D' - его проекция. Обозначим отношение C'D':CD через k. Так как при параллельном проектировании сохраняются параллельность и отношение длин параллельных отрезков, то для произвольной хорды C1D1, параллельной диаметру CD, ее проекция C1'D1' будет параллельна C'D', и отношение C1'D1' : C1D1 будет равно k.

17

16


Таким образом, проекция окружности получается сжатием или растяжением окружности в направлении какого-нибудь ее диаметра в одно и то же число раз. Такая фигура на плоскости называется эллипсом. Например, на рисунке 17 изображен эллипс, полученный из окружности сжатием в направлении диаметра CD в два раза.

Приведем примеры изображений пространственных фигур на плоскости.

Изображение параллелепипеда строится, исходя из того, что все его грани параллелограммы и, следовательно, изображаются параллелограммами (рис. 18).

20

19

18


При изображении куба плоскость изображений обычно выбирается параллельной одной из его граней. В этом случае две грани куба, параллельные плоскости изображений (передняя и задняя), изображаются равными квадратами. Остальные грани куба изображаются параллелограммами (рис. 19). Аналогичным образом изображается прямоугольный параллелепипед (рис. 20).

Для того чтобы построить изображение призмы, достаточно построить многоугольник, изображающий ее основание. Затем из вершин многоугольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим многоугольник, являющийся изображением второго основания призмы (рис. 21).

Для того чтобы построить изображение пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий ее основание. Затем выбрать какую-нибудь точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соединить ее с вершинами многоугольника (рис. 22). Полученные отрезки будут изображать боковые ребра пирамиды.

24

23

22

21


Для изображения цилиндра достаточно изобразить его основания в виде двух эллипсов, получающихся друг из друга параллельным переносом, и нарисовать две образующие, соединяющие соответствующие точки этих оснований (рис. 23).

Для изображения конуса достаточно изобразить его основание в виде эллипса, отметить вершину и провести через нее две образующие, являющиеся касательными к этому эллипсу (рис. 24).

Обратим внимание на тот факт, что плоское изображение, подчиняясь определенным законам, способно передать впечатление о трехмерном предмете. Однако при этом могут возникать иллюзии.

В живописи существует целое направление, которое называется импоссибилизм (impossibility - невозможность) - изображение невозможных фигур, парадоксов. Известный голландский художник М.Эшер (1898 – 1972) в гравюрах "Бельведер" (рис. 25), "Водопад" (рис. 26), "Поднимаясь и опускаясь" (рис. 27) изобразил невозможные объекты. [4, c.71]

27

26

25


Современный шведский архитектор О. Рутерсвард посвятил невозможным объектам серию своих художественных работ. Некоторые из них представлены на рисунке 28.

28


2.2 Изображение геометрических фигур в графическом редакторе пакета MS Office

При построении чер-тежей к стереометрическим задачам надо, кроме того, иметь хо-тя бы элементарные знания о правилах выполнения изображе-ний геометрических фигур в параллельной проекции.

Для того чтобы стать обладателем этих качеств, одного изучения готовых моделей и чертежей геометрических фигур и их комбинаций, как показывает практика, недостаточного. Еще более проблематично при таком подходе развить в себе способ-ность видеть, когда при решении стереометрической задачи вместо проекционного чертежа можно обойтись изображением одного или нескольких сечений рассматриваемой в задаче гео-метрической конфигурации. Приобрести все нужные качества можно лишь в процессе самостоятельного выполнения различ-ных проекционных чертежей и рисунков.

Вместе с тем на уроках и при выполнении домашних зада-ний вы уже убедились, что порой выполнение чертежа к сте-реометрической задаче может занять гораздо больше времени, чем все остальные этапы ее решения. При совместном решении новых типов задач вы также видели и то, что одни одноклассни-ки строят чертежи быстрее, другие – медленнее. Учителю при-ходится постоянно ждать, когда нужные построения будут вы-полнены у всех учеников класса. Поэтому число задач, которое удается совместно решить на уроке геометрии, значительно меньше, чем число задач, решаемых на уроке алгебры и начал анализа.

Чтобы интенсифицировать процесс обучения решению сте-реометрических задач, в школьной практике широко использу-ются задачи на готовых чертежах, а при построении чертежей – трафареты для вычерчивания наиболее часто встречающихся в задачах геометрических тел. В качестве примера на рисунке 29 даны трафарет для вычерчивания куба и изображения куба, вы-полненные с помощью этого трафарета. На рисунке 30 показа-ны трафарет и изображения правильного тетраэдра.

Рис. 29 Трафарет для вычерчивания куба и изображения куба

Рис. 30 Трафарет и изображения правильного тетраэдра

Примеры других трафаретов, используемых для построения изображений многогранником, можно найти в приложении кни-ги [3]. При изображении круглых тел широко применяются трафареты нескольких подобных между собой эллипсов. Для построения изображений на классной доске трафареты обычно изготавливаются из фанеры; для построения чертежей в тетрадях используются такие же трафареты, только меньших размеров, выполненные из плотной бумаги, картона, пластика и т. п.

Применение трафаретов позволяет существенно сократить время выполнения чертежей и нивелировать индивидуальные различия в темпе их построения.

Компьютер, мультимедийные аппаратные средства и разно-образное программное обеспечение для работы с графикой по-зволяют еще более существенно интенсифицировать процесс обучения решению стереометрических задач.

Появились возможности во многом автоматизировать про-цесс создания геометрического чертежа, компактно его хранить и многократно использовать, а в случае необходимости вносить в имеющийся готовый чертеж необходимые коррективы. При-менение на уроках геометрии проектора и интерактивной доски позволяет максимально эффективно расходовать время урока. Можно, например, используя готовые чертежи к стереометриче-ским задачам, обсуждать, какие необходимо выполнить на чер-теже дополнительные построения, какие сечения потребуются для решения задачи и т. п. Интерактивная доска дает возмож-ность не только обсуждать, но выполнять дополнительные по-строения, а затем сохранять полученные чертежи для после-дующего использования. Существуют самые разнообразные формы организации учебной деятельности с помощью распеча-ток готовых чертежей, хранящихся в памяти компьютера и т. д.

При использовании информационных технологий наи-больший эффект для развития пространственного мышления по-прежнему дает самостоятельное выполнение чертежей, но те-перь в среде какого-либо редактора компьютерной графики. Школа вряд ли может себе позволить иметь дорогостоящий ли-цензионный программный продукт (такой, например как 3D Max). Для начального знакомства с принципами работы в гра-фических редакторах такой программный продукт иметь вовсе не обязательно. Полученные теоретические знания позволяют выполнять вполне приемлемые для школьной практики чертежи на базе простейших графических редакторов.

Одним из таких редакторов является встроенный графиче-ский редактор пакета MS Office, входящий в пакет прикладных программ имеющейся практически во всех школах программы MS Word. (Кстати, все чертежи в этой книге выполнены именно в этом редакторе.) Построение сложных стереометрических чертежей в графическом редакторе пакета MS Office немыслимо без знания теоретического материала, рассмотренного в преды-дущих параграфах. Поэтому, осваивая работу в этом графиче-ском редакторе, вы будете не только развивать свое пространст-венное мышление и приобретать навыки в создании трехмерных объектов, но и получите прекрасную возможность использовать на практике полученные сведения по теории изображения гео-метрических фигур в параллельной проекции.

3 Графическое изображение при ортогональном проектировании

3.1 Ортогональное проектирование. Метод Монжа

Если направление проектирования Р перпендикулярно плоскости проекций p1, то проектирование называется прямоугольным (Рисунок 31),или ортогональным (греч. ortos – прямой, gonia – угол), если Р не перпендикулярно π1, то проектирование называется косоугольным.

Четырехугольник АА1В1В задаёт плоскость γ, которая называется проектирующей, поскольку она перпендикулярна к плоскости π1 (γ⊥π1). В дальнейшем будем использовать только прямоугольное проектирование.

2069339_orig

Рисунок 31 – Ортогональное проектирование Рисунок 1.5- Монж, Гаспар (1746-1818)

NG-Lection1-Geogebra2

Рисунок 3.2 Основоположником ортогонального проектирования считается французский учёный Гаспар Монж

До Монжа строители, художники и учёные обладали довольно значительными сведениями о проекционных способах, и, всё же, только Гаспар Монж является творцом начертательной геометрии как науки.

Гаспар Монж родился 9 мая 1746года в небольшом городке Боне (Бургундия) на востоке Франции в семье местного торговца. Он был старшим из пяти детей, которым отец, несмотря на низкое происхождение и относительную бедность семьи, постарался обеспечить самое лучшее образование из доступного в то время для выходцев из незнатного сословия. Его второй сын, Луи, стал профессором математики и астрономии, младший — Жан также профессором математики, гидрографии и навигации. Гаспар Монж получил первоначальное образование в городской школе ордена ораторианцев. Окончив её в 1762 году лучшим учеником, он поступил в колледж г. Лиона, также принадлежавший ораторианцам. Вскоре Гаспару доверяют там преподавание физики. Летом 1764 года Монж составил замечательный по точности план родного города Бона. Необходимые при этом способы и приборы для измерения углов и вычерчивания линий были изобретены самим составителем.

Во время обучения в Лионе получил предложение вступить в орден и остаться преподавателем колледжа, однако, вместо этого, проявив большие способности к математике, черчению и рисованию, сумел поступить в Мезьерскую школу военных инженеров, но (из-за происхождения) только на вспомогательное унтер-офицерское отделение и без денежного содержания. Тем не менее, успехи в точных науках и оригинальное решение одной из важных задач фортификации (о размещении укреплений в зависимости от расположения артиллерии противника) позволили ему в 1769 году стать ассистентом (помощником преподавателя) математики, а затем и физики, причём уже с приличным жалованием в 1800 ливров в год.

В 1770 году в возрасте 24-х лет Монж занимает должность профессора одновременно по двум кафедрам — математики и физики, и, кроме того, ведёт занятия по резанию камней. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке – начертательной геометрии, творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации вплоть до 1799 года, книга вышла под названием Начертательная геометрия (Géométrie descriptive) (стенографическая запись этих лекций была сделана в 1795 году). Изложенный в ней подход к чтению лекций по этой науке и выполнению упражнений сохранился до наших дней. Еще один значительный труд Монжа – Приложение анализа к геометрии (L’application de l’analyse à la géometrie, 1795) – представляет собой учебник аналитической геометрии, в котором особый акцент делается на дифференциальных соотношениях.

В 1780 был избран членом Парижской академии наук, в 1794 стал директором Политехнической школы. В течение восьми месяцев занимал пост морского министра в правительстве Наполеона, заведовал пороховыми и пушечными заводами республики, сопровождал Наполеона в его экспедиции в Египет (1798–1801). Наполеон пожаловал ему титул графа, удостоил многих других отличий.

Метод изображения объектов по Монжу заключается в двух основных моментах:

1. Положение геометрического объекта в пространстве, в данном примере точки А, рассматривается относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей π1 и π2 (Рисунок 33).

Они условно разделяют пространство на четыре квадранта. Точка А расположена в первом квадранте. Декартова система координат послужила основой для проекций Монжа. Монж заменил понятие осей проекций на линию пересечения плоскостей проекций (координатные оси) и предложил совместить координатные плоскости в одну путем поворота их вокруг координатных осей.

2010407_orig

Рисунок 33 – Модель построения проекций точки

NG-Lection1-Geogebra3

Рисунок 34. Ортогональные проекции точки на две плоскости проекций

π1 – горизонтальная (первая) плоскость проекций

π2 – фронтальная (вторая) плоскость проекций

π1∩π2 — ось проекций (обозначим π21)

Рассмотрим пример проектирования точки А на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций π1 и π2.

Опустим из точки А перпендикуляры (проектирующие лучи) на плоскости π1 и π2 и отметим их основания, то есть точки пересечения этих перпендикуляров (проектирующих лучей) с плоскостями проекций. А1 – горизонтальная (первая) проекция точки А;А2 – фронтальная (вторая) проекция точки А; АА1 и АА2 – проектирующие прямые. Стрелки показывают направление проектирования на плоскости проекций π1 и π2. Такая система позволяет однозначно определить положение точки относительно плоскостей проекций π1 и π2:

АА1⊥π1

А2А0⊥π21АА1 = А2А0 — расстояние от точки А до плоскости π1

АА2⊥π2

А1А0⊥π21АА2 = А1А0 — расстояние от точки А до плоскости π2

2. Совместим поворотом вокруг оси проекций π21 плоскости проекций в одну плоскость (π1 с π2), но так, чтобы изображения не накладывались друг на друга, (в направлении α, Рисунок 32), получим изображение, называемое прямоугольным чертежом (Рисунок 34):

6761178_orig

Рисунок 34 – Ортогональный чертеж

Прямоугольный или ортогональный носит названиеэпюр Монжа.

Прямая А2А1 называется линией проекционной связи, которая соединяет разноимённые проекции точки (А2— фронтальную и А1 — горизонтальную) всегда перпендикулярна оси проекций (оси координат) А2А1⊥π21. На эпюре отрезки, обозначенные фигурными скобками, представляют собой:

  • А0 А1 – расстояние от точки А до плоскости π2, соответствующее координате yА;
  • А0 А2 – расстояние от точки А до плоскости π1, соответствующее координате zА.

3.2 Прямоугольные проекции точки

1. Две прямоугольные проекции точки лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

2. Две прямоугольные проекции точки однозначно определяют её положение в пространстве относительно плоскостей проекций.

Убедимся в справедливости последнего утверждения, для чего повернём плоскость π1 в исходное положение (когда π1⊥π2). Для того, чтобы построить точку А необходимо из точек А1 и А2 восстановить проектирующие лучи, а фактически – перпендикуляры к плоскостям π1 и π2, соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров фиксирует в пространстве искомую точку А. Рассмотрим ортогональный чертеж точки А (Рисунок 35).

6100922_orig

Рисунок 35 – Построение эпюра точки

Введём третью (профильную) плоскость проекций π3 перпендикулярную π1 и π2 (задана осью проекций π23).

Расстояние от профильной проекции точки до вертикальной оси проекций А‘0A3 позволяет определить расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций π2. Известно, что положение точки в пространстве можно зафиксировать относительно декартовой системы координат с помощью трёх чисел (координат) A(XA; YA; ZA) или относительно плоскостей проекций с помощью её двух ортогональных проекций (A1=(XA; YA); A2=(XA; ZA)). На ортогональном чертеже по двум проекциям точки можно определить три её координаты и, наоборот, по трём координатам точки, построить её проекции (Рисунок 36, а и б).

1402725431

а б

Рисунок 36 – Построение эпюра точки по её координатам

По расположению на эпюре проекций точки можно судить о её расположении в пространстве:

  • если на эпюре горизонтальная проекция точки А — А1 лежит под осью координат X , а фронтальная — А2 – над осью X, то можно говорить, что точка А принадлежит 1-му квадранту;
  • если на эпюре горизонтальная проекция точки А — А1 лежит над осью координат X, а фронтальная — А2 – под осью X, то точка А принадлежит 3-му квадранту;
  • если на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А1 и А2 лежат над осью X, то точка А принадлежит 2-му квадранту;
  • если на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А1 и А2 лежат под осью X, то точка А принадлежит 4-му квадранту;
  • если на эпюре проекция точки совпадает с самой точкой, то значит – точка принадлежит плоскости проекций;
  • точка, принадлежащая плоскости проекций или оси проекций (оси координат), называется точкой частного положения.

Для определения в каком квадранте пространства расположена точка, достаточно определить знак координат точки.

Таблица 1 - Зависимости квадранта положения точки и знаков координат

X

Y

Z

I

+

+

+

II

+

+

III

+

IV

+

+

Задание

Построить ортогональные проекции точки с координатами А (60, 20, 40) и определить в каком квадранте расположена точка .

Решение задачи: по оси OX отложить значение координаты XA=60, затем через эту точку на оси OX восстановить линию проекционной связи, перпендикулярную к OX, по которой вверх отложить значение координаты ZA=40, а вниз – значение координаты YA=20 (Рисунок 37).

ris1_10

Рисунок 37 – Решение задачи

Все координаты положительные, значит точка расположена в I квадранте.

Заключение

Решение стереометрических задач и особенно выполнение чертежей к этим задачам является важнейшим средством развития пространственного мышления и способностей, необходимых для успешной конструкторско-геометрической деятельности. К сожалению, построение хорошего проекционного чертежа требует больших временных затрат, поэтому при изучении курса геометрии не всегда удается накопить опыт, необходимый для их выполнения.

При этом изучение теоретических основ построения изображений геометрических фигур не является в школе приоритетной задачей; в учебниках геометрии, в лучшем случае даются азы теории изображений геометрических фигур в параллельной проекции. При практическом выполнении чертежей к стереометрическим задачам также по большей части приходится опираться не на теорию изображений, а на готовые чертежи, которые приведены в учебнике, и чертежи, которые строит учитель на классной доске.

Практика показывает, что многие школьники достаточно легко и успешно осваивают различные графические редакторы и пакеты такие, например, как 3D Max. Однако школа вряд ли может себе позволить иметь такой дорогостоящий программный продукт. Вместе с тем даже встроенный графический редактор пакета MS Office, имеющейся практически во всех школах программы MS Word, может стать надежным помощником при изучении стереометрии. Этот редактор содержит общераспространенные инструменты создания, рисования, выделения, редактирования, группировки и разгруппировки геометрических объектов; позволяет вставлять в рисунки и чертежи текст; выполнять их масштабирование и т. д. Поэтому, освоив графический редактор пакета MS Office, можно, кроме того, получить начальные навыки работы в графических редакторах и пакетах.

Несмотря на небольшие искажения, которые возникают при оперировании объектами, редактор позволяет строить вполне приемлемые изображения достаточно сложных комбинаций геометрических тел. В руках пользователя, имеющего минимум знаний по теории изображений в параллельной проекции, он может стать эффективным инструментом для построения чертежей к школьным стереометрическим задачам. Его можно успешно использовать при выполнении индивидуальных и групповых проектов с геометрической тематикой. При создании различных презентаций рисунки и чертежи, выполненные в векторным графическом редакторе пакета MS Office, можно вставить в любой файл этого пакета (Word, PowerPoint, Publisher и т. д.), в частности размещать их на слайдах полюбившейся многими пользователями программы PowerPoint.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. Геометрия: учебное пособие для студен- тов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2 / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. – М.: Просвещение, 1987. – 352 с.

2. Бескин Н. М. Изображение пространственных фигур. – М.: Наука, 1971. – 80 с. – (Серия: «Популярные лекции по мате- матике»).

3. Левицкий, В.С. Машиностроительное черчение и автоматизация выполнения чертежей [Текст] : учебник для втузов / В.С. Левицкий. - 8-е изд., перераб. и доп. - М. : Высш. шк., 2007. - 436 с. : ил.

4. Литвиненко В. Н. Задачи на развитие пространственных представлений: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1991. – 127 с.

5. Локтев, О.В. Краткий курс начертательной геометрии [Текст] : учебник для втузов / О.В. Локтев. - 6-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2010. - 136 с. : ил.

6. Общие правила выполнения чертежей ЕСКД [Текст] : сборник стандартов ЕСКД. - М. : Изд-во стандартов, 2009. 238 с.

7. Понарин Я. П. Изображение фигур в параллельных проекциях. – Киров: Изд-во ВГПУ, 1999. – 118 с.

8. Смирнова И. М. Изображение пространственных фигур. Элективный курс. 10–11-й классы: учебное пособие для обще- образоват. учреждений / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М.: Мнемозина, 2007. – 64 с.

9. Чекмарев, А.А. Инженерная графика [Текст] : учебник для вузов / А.А. Чекмарев. - 5-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2010. - 365 с. : ил.

10. Чекмарев, А.А. Начертательная геометрия и черчение [Текст] : учебник для вузов / А.А. Чекмарев. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Владос, 2008. - 472 с. : ил.

11. Чекмарев, А.А. Справочник по машиностроительному черчению [Текст] : справочник / А.А. Чекмарев, В.К. Осипов. - 8-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2008. - 493 с. : ил.

12. Четверухин Н. Ф. Стереометрические задачи на проекци- онном чертеже. – М.: Учпедгиз, 1952. – 128 с.


Loading...

Последние статьи из блога

Проблемы государственного устройства России

Понятия и принципы федерализма в России

Современные масштабы экологической катастрофы

Теоретико-правовые основы контрактной системы

Разработка системы финансового планирования (бюджетирования)

Architectonika of management system in agrarian sphere in conditions of sanction economy

Конверсия веб-сайта

Взаимодействие PHP и MYSQL

Синтаксис языка PHP

Адаптивная вёрстка сайта

Основные понятия, принципы и системы бережливого производства

Система прохождения государственной службы

Принципы служебной деятельности

Виды государственной службы

Практические рекомендации по совершенствованию поддержки малых форм хозяйствования в АПК Новосибирской области

Анализ деятельности управления развития сельских территории и инвестиций Новосибирской области в сфере поддержки АПК

Характеристика развития АПК Новосибирской области

Анализ ликвидности банковского сектора Российской Федерации

Теоретические аспекты обеспечения банковской ликвидности

Практическая реализация подсистемы голосового управления информационно-измерительных и управляющих систем