Математичне та компютерне моделювання осцилюючих систем

Задание 1. Найти эволюцию гармонического осциллятора

при начальных условиях:

а₀=16/9, у(0) = у₀ = α₀ = 4, у'(0) = у₀' = β₀ = v₀ = 4.

Построить график решения; указать характерные точки (нули, экстремумы).

Решение данного уравнения имеет вид: .

Определим необходимые значения.

Исходя из условия задания : .

В свою очередь, амплитуда А₀ вычисляется как

Для начальной фазы применим формулу:

Подставив все значения в исходную формулу, получим:

На рис.1 показан график данной функции[1].

	Рисунок 1. График эволюции гармонического осциллятора

На рис. 1 у(0)=4.

Экстремумы функции найдем из выражения

для целочисленных n.

Нули функции найдем из выражения

для целочисленных n.

Задание 2. Построить фазовый портрет решений при различных начальных условиях при фиксированном значении , где - индивидуальное значение из задания 1.

Для составления фазового портрета воспользуемся формулой

Выразим y(t), y' (t):

Тогда производная будет равна

В свою очередь, амплитуда А₀ вычисляется как

Для начальной фазы применим формулу:

Взяв данные у(0) = 4, у'(0) = 4,подставим их в формулу:

По полученной формуле, выполним расчёт фазового портрета для других у(0), у'(0).

Если у(0) = 6, то

Тогда

	Рисунок 2. Фазовые портреты

Задание 3. Найти эволюцию осциллятора с затуханием (диссипацией) (γ>0) при начальных условиях: γ=3/2, ω₀²=5/4, у(0) = α₀ = 2, у'(0) = β₀ =6.

Построить график решения уравнения .

Так как γ>ω, то в данном случае присутствует сильное затухание.

Эволюция гармонического осциллятора с сильным затуханием описывается функцией:

,

где

Подставим имеющиеся значения в вышеуказанные формулы.

При начальных условиях: γ=3/2, ω₀²=5/4, у(0) = α₀ = 2, у'(0) = у₁=β₀ =6

Значения, полученные выше, подставим в исходную формулу:

,

Построим график по полученным результатам (рис.3).

	Рисунок 3. График эволюции осциллятора с затуханием

Задание 4. Найти эволюцию осциллятора при слабом затухании (0<γ<ω), взяв новое значение γ в задании 3. Выделить характерные точки.

Данные варианта : γ=√2, ω₀²=5/4, у(0) = α₀ = 2, у'(0) = β₀ =6.

Так как γ² = 2, то наше значение не удовлетворяет условию слабого затухания. Выберем γ=0,25.

Для данного типа затухания применим формулу:

где А₀ - амплитуда, ω- частота колебаний, φ- начальная фаза.

Данные параметры вычислим при помощи следующих формул:

Т.о., так как у(0) = α₀ = 2, у'(0) = β₀ =6,

Подставив данные значения в исходное уравнение, получим:

Нули функции найдем из выражения

для целочисленных n.

Экстремумы функции найдем из выражения

для целочисленных n.

Построим график по полученным результатам (рис.4).

	Рисунок 4. График эволюции осциллятора при слабом затухании.

Задание 5. В задании №3, положить коэффициент затухания γ=ω₀=√(5/4). Остальные индивидуальные параметры у(0) = α₀ = 2, у'(0)=β₀=6.

Построить график решения для индивидуальных параметров. Указать характерные точки.

Колебания, когда γ=ω₀ , являются колебаниями с критическим затуханием. То есть, после прохода данного значения осциллятор будет выполнять неколебательные движения. В данном случае уравнение эволюции имеет вид:

где γ - коэффициент затухания, С₁ =у₀, С₂ = γу₀+ v₀.

Поставляя начальные условия, получим

С₁ =у₀=2,

С₂ = √(5/4)*2+ 6=8,23.

Подставив данные значения в исходное уравнение, имеем:

Ноль функции: отсутствует.

Для нахождения максимума функции найдем производную функции и приравняем ее нулю:

Для нахождения точки перегиба функции найдем вторую производную функции и приравняем ее нулю:

Функция имеет максимум в точке 0,658 и перегиб в точке 1,559.

	Рисунок 5. График колебаний с критическим затуханием

Сравнивая рис. 3 и 5, видим, что во втором случае затухание действительно происходит быстрее.

[1] Здесь и далее вычисления проведены в программе МатКАД 14.